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Aus dem Video Normalverteilung

Thema dieses Videos ist die Näherung der Binominalverteilung durch die Normalverteilung.
Vorher wurde für jede Binominalverteilung eine Tabelle benötigt, was reichlich aufwendig war. Einfacher ist das ganze, wenn die sogenannte Bedingung nach Laplace, nämlich σ (Sigma) > 3 erfüllt ist. Ist diese Bedingung erfüllt, nähert sich nämlich folgende Funktion dem Verlauf der für die Normalverteilung typischen glockenförmigen Kurve, nämlich der Gauß’schen Normalverteilung an und kann diese annähernd beschreiben:

f(x)= (1/ (2 σ)) e^ (-(x-µ)^2/(2* σ^2))

Sigma steht hierbei für die einzelne Binominalverteilung, also die Standardabweichung.
-(x-µ)^2 stellt den Erwartungswert dar. (2* σ^2) drückt die Varianz aus.

Für die verschiedenen Radien, die die Laplace’sche Bedingung erfüllen können, kann nun die entsprechenden Umgebungswahrscheinlichen mit der oben genannten Formel berechnet werden:
Für einen Radius von 1σ liegt eine Umgebungswahrscheinlichkeit von 0,68, also von 68 % vor, während für einen Radius von 2 σ eine Umgebungswahrscheinlichkeit von 95,5 % vorhanden ist. Ein Radius von 3 σ weist eine Umgebungswahrscheinlichkeit von 99,7 % auf.

Andersherum ist es möglich von einer vorgegebenen Umgebungswahrscheinlichkeit auf einen Radius zu schließen. Hat man zum Beispiel eine Umgebungswahrscheinlichkeit von 90 % gegeben, liegt ein Radius von 1,64 σ vor. Liegt die Umgebungswahrscheinlichkeit bei 95 %, liegt der Radius entsprechend bei 1,96 σ, bei 99 % Wahrscheinlichkeit bei einem Radius von 2,58 σ.

Während die Binominalverteilung nur bei diskreten Variabeln, wie beispielsweise Würfelwahrscheinlichkeiten, genutzt werden kann, können mit der Normalverteilung auch komplexere Geschichten, die kontinuierlicher angenommen werden können, wie Einkommensverteilungen usw., berechnet werden.

Die Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten von Binominalverteilungen, die die Laplace’sche Bedingung erfüllen, wird der Einfachheit halber in einem Screen Cast dargestellt und in einem Erweiterungsvideo behandelt.

"An vielen Schulen nicht mit einer Z-Tabelle gerechnet wird, sondern mit einer Phi-Tabelle ähnlich dieser hier Laut der Z-Tabelle ist 1.59 Sigma einer Wahrscheinlichkeit von 88,8% zugeordnet. Guckt man in der Phi-Tabelle nach erhält man bei 1.59 einen Wert von 0.9441. Wenn man das jetzt allerdings in die Formel 2Wert-1 einsetzt steht da. 20.9441-1 = 0,8882 was denn genau die 88,8% aus der Z-Tabelle sind." Und noch eine Sache von Morten: In der Formel fehlt über dem 2 Pi die Wurzel!

Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten sind eines der Anwendungsgebiete für die Normalverteilung:

  1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Erfolge-Intervalls, das symmetrisch zum Erwartungswert liegt:
Dazu ein Vertiefungsvideo zu der Frage, warum man den Radius vor dem ablesen aus der Tabelle um 0,5 vergrößern muss:.

Und so ein symmetrisch um den Erwartungswert liegendes Intervall kann natürlich auch in Prozent angegeben werden:

Auch wenn die zu berechnende Umgebungswahrscheinlichkeit nur auf einer Seite des Erwartungswerts liegt, können wir diese Berechnen. Zuerst das Schema, wie das läuft:

und dann ein Beispiel für die kleiner-Beziehung

und dann ein Video zur größer Beziehung

  • Videos zu Aufgaben zum Hypothesentest mit Normalverteilung.

Weitere Videos zur Berechnung der Umgebungswahrscheinlichkeit von Intervallen, die nicht symmetrisch zum Erwartungswert sind. Zur Normalverteilung bei Herrn Brinkmann.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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