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Was ist die Nullstellenform einer Funktionsgleichung?

Dazu will ich dir erst einmal ein kleines Beispiele zeigen:

f(x)=(x-2)*(x+5)*x*(3x-7)

wie ist diese Funktion aufgebaut?

Erst einmal kann man sehen, dass die Funktionsgleichung aus vier Faktoren zusammengesetzt ist.

Aber was hat das ganze jetzt mit Nullstellen zu tun?

Naja, bei Nullstellen, setzt man ja f(x)=0. Machen wir das mal:

0=(x-2)*(x+5)*x*(3x-7)

jetzt muss man sich einer Sache erinnern. Und das ist der Satz vom Nullprodukt. Und der geht so:

ein Produkt ist immer genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Dieser Satz führt in der Nachhilfe öfter zu Verwirrung. Aber setzen wir ihn einfach einmal in die Tat um, dann wird meist verständlicher, was das genau bedeutet. Schau dir mal diese Gleichung an:

0=(x-2)*(x+5)*x*0

statt des letzten Linearfaktors habe ich einfach einen null eingesetzt. Und die Gleichung gilt. Ich habe nur einem Faktor den Wert null zugeordnet und schon ist es völlig egal, welchen Wert die anderen Faktoren haben, denn wenn ich irgend eine Zahl oder irgend einen Ausdruck mit null mal nehme bedeutet das ja, dass ich diesen Term null mal beachten muss.

Jetzt muss man sich nur noch überlegen, für welchen X Wert denn der Faktor, dem ich einfach so den Wert null zugeordnet habe, den Wert Null annimmt.

Dafür muss ich nur diesen Faktor nullsetzen. Also so:

3x-7=0   |+7

3x=7     |:3

x=7/3

und genau deshalb ist die Nullstellenform einer Funktionsgleichung oder auch allgemein die Nullstellenform einer Gleichung ein Glücksfall, wenn man diese Gleichung auflösen oder Nullstellen der Funktion berechnen will.

Was muss ich bei der Nullstellenform beachten?

  • Frage dich, ob die Funktion in Nullstellenform vorliegt.
  • Setze für f(x) einen null ein.
  • Berechnet für jeden gegebenen Faktor den Wert oder die Werte für X, die diesen einzelnen Faktor null werden lassen.
  • Schreibt die Lösungsmenge der Gleichung auf. Das ist das Ergebnis deine Aufgabe.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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