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Was sind Obersumme und Untersumme?

Obersumme und Untersumme bilden häufig den Auftakt zu Beginn der Integralrechnung. Flächen werden eingeschachtelt und angenähert und am Schluss findet das Thema selten den Eingang in eine Klausur und könnte deshalb als weniger wichtig bezeichnet werden. Bei dem Thema steigen viele Schüler früh aus und verpassen dann den Anschluss an das eigentliche Thema.

Aus dem ersten Video Obersumme Untersumme

Zum Einstieg in die Integralrechnung in der Analysis gibt es hier eine Einführung im Thema Obersumme und Untersumme. Mit Hilfe einer Geraden im Koordinatensystem in dem Intervall von 0 bis 1 werden diese beiden Begriffe nun erklärt. Um zum Beispiel die Untersumme U4 zu bilden, unterteilt man das Intervall in vier gleich große Abschnitte, also 0,25, 0,5, 0,75 und 1. Nun beginnt man bei null und zeichnet einen senkrechten Strich bis zum Schnittpunkt mit der Geraden. Danach wird eine parallele zur x-Achse bis zum Ende des ersten Abschnittes, also bei 0,25, gezeichnet. Nun vervollständigt man das Rechteck, in dem man wieder eine senkrechte nach unten zeichnet. Dies wiederholt man nun für alle Abschnitte. Bei einer Geraden durch Null spannt das Rechteck des ersten Intervalls keine Fläche auf.

Um die Obersumme zu zeichnen, beginnt man einfach am Ende des Intervalls und arbeitet sich bis zum Anfang vor. Die Obersumme heißt nun deshalb Obersumme, da ein Stück des entstandenen Rechteckes über die Gerade hinausragt. Dies ist bei der Untersumme nicht der Fall. Die Ober- oder Untersumme errechnet sich nun als Summe der Flächen der einzelnen Abschnitte.

Zum Berechnen der Untersumme U4 der Funktion f(x)=x²+2 im Intervall von null bis eins setzt man nun jeweils den kleinsten Wert von x eines jeden Rechteckes in die Funktion ein und multipliziert dies mit der Breite des Rechteckes. In unserem Beispiel ist die Breite also 0,25. Im ersten Rechteck ist x=0 und damit die Fläche gleich 2*0,25. Im zweiten Rechteck setzten wir x=0,25 ein, womit sich eine Fläche von 2,0625. Dies macht man für alle Rechtecke. Die einzelnen Flächen addiert ergeben dann die Untersumme.

Wie geht es nach der Episode um Obersumme und Untersumme weiter?
Die Flächenberechnung wird in Mathe deutlich vereinfacht. Es werden Integrationsregeln aufgestellt, mit denen man Stammfunktionen für alle denkbaren Funktionen berechnen kann.
Vor allem aber ganzrationale Funktionen und Exponentialfunktionen.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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