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Parameterform Ebenengleichung

Die Parameterform ist in der Vektorrechnung die erste Formen der Ebene, die man kennen lernt. Und es ist die Form, mit der sich eine Ebene aus drei gegebenen Punkten ermitteln lässt.

Ebene aus Gerade und Punkt 

Eine Ebenengleichung soll aufgestellt werden und es sind gegeben eine Gerade g und ein Punkt P.
g: Vektor x = ( 1 / 1 / 0 ) + r * ( 2 / 3 / 4 ) , P ( 1 / 4 / 8 )
Die Ebene können wir nun aufstellen, indem wir die den Ortsvektor und den Richtungsvektor der Geraden auch als Orts- und Richtungsvektor der Ebene verwenden.
E: Vektor x = ( 1 / 1 / 0 ) + r * ( 2 / 3 / 4 / ) + s * (   /  /  / )
Der letzte noch fehlende Spannvektor können wir aus dem Punkt P (1 / 4 / 8 ) bilden, indem wir den Vektor ( 1 / 4 / 8 ) - den Ortsvektor ( 1 / 1 / 0 ) nehmen.
( 1 / 4 / 8 ) - ( 1 / 1 / 0 ) = ( 0 / 3 / 8 )
E: Vektor x = ( 1 / 1 / 0 ) + r * ( 2 / 3 / 4 / ) + s * ( 0 / 3 / 8 ) 

Eine Ebene kann auch durch zwei Vektorgeraden aufgespannt werden - entweder sind die beiden Geraden parallel oder sie schneiden sich - aus zwei identischen oder windschiefen Geraden ergibt sich keine Ebene.

Ebene aus zwei parallelen Geraden

um auf diesem Weg eine Ebene aus zwei parallelen Geraden herzustellen, sollte man sich natürlich als erstes einmal vergewissern, ob denn die beiden gegebenen geraden auch tatsächlich parallel verlaufen.
Dazu musst du überprüfen, ob die Richtungsvektoren kollinear sind, also ob du den einen dadurch zu dem anderen machen kannst, indem du ihn mit einer Zahl mal nimmst.
Wenn du das überprüft hast, dann machst jetzt so weiter:

  • als erstes schreibt die erste Gerade wieder auf, schreibt aber kein g davor, sondern ein E.
  • Jetzt brauchst du nur noch einen zweiten Spannvektor, damit sich die Gleichung einer Ebene ergibt.
  • Den zweiten Spannvektor der Ebene bekommst du, wenn du die Differenz der beiden Stützvektoren der Geraden berechnest und das Ergebnis, natürlich mit einem Streckparameter hinten an den Ansatz der Ebene aus zwei Geraden.

Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden

wenn sich die beiden Geraden, die in der Aufgabenstellung gegeben sind schneiden, dann ist die Vorgehensweise ein bisschen anders.
Wichtig ist auch hier, dass man zunächst einmal feststellt, dass die Geraden sich wirklich schneiden. Dazu gibt es ja bereits mehrere Videos, die du dir im Bereich Vektorrechnung Geraden anschauen kannst.
Das Schema zum Aufstellen der Ebene aus zwei solcher Geraden läuft so ab:

  1. Schnittpunkt feststellen
  2. die erste Gerade hin schreiben, aber nicht anfangen mit g sondern anfangen mit E und dann einfach den Richtungsvektor der zweiten Geraden hinten an die Ebene dran hängen.

Man kann natürlich auch den Schnittpunkt der beiden sich schneidenden Geraden nehmen, aber das ist nicht notwendig.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



Die besten Videos in Parameterform Ebenengleichung:


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