Parameterform in Koordinatenform
Parameterform in Koordinatenform
Ebene von Koordinatenform in Parameterform umwandeln
Koordinatenform in Parameterform zwei Wege
Vektorrechnung Ebenen Koordinatenform Parameterform
Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Eine zentrale Rechentechnik, die uns das Leben und viele Klausuren in der Vektorrechnung leichter macht.
Wir haben eine Ebenengleichung in Parameterform, die möglichst schnell in die Koordinatenform umgewandelt werden soll. Das bringt uns in vielen Fällen was, z.b wenn wir mit Lagebeziehungsrechnungen weiter machen wollen.
E: Vektor x = ( 1 / 2 / 3 ) + r * ( 1 / -2 / 3 ) + s * ( 2 / -2 / 1 )
Die Koordinatenform lautet im allgemein: E: ax + by + cz = d
(In manchen Büchern steht statt x,y,z auch x1, x2 ,x3)
Jetzt wollen wir wirklich nur das Schema anbringen. Wir suchen nun ja die Ebene in Koordinatenform. Das lässt sich auch in Normalenform ausdrücken die wie folgt lautet:
E: Vektor x * Vektor n (Normalenvektor) = d
Vektor n = ( a / b / c )
Vektor n = RV1 x RV2
RV1 und RV2 beschreiben hierbei die Richtungsvektoren der Ebenengleichung. Wenn wir das Kreuzprodukt dieser beiden Richtungsvektoren bilden, kommen wir auf den Normalenvektor Vektor n :
= ( 1 / -2 / 3 ) X ( 2 / -2 / 1 ) = ( 4 / 5 / 2 ) -> das sind nun a, b und c
Wir wir das Kreuzprodukt genau bilden, findet ihr in anderen Videos.
Wenn nun unser Ziel ist d auszurechen, müssen wir folgendes beachten:
d = Normalenvektor * Vektor OV = ( 4 /5 / 2 ) * ( 1 / 2 / 3 )
= 4 * 1 + 5 * 2 +2* 3
= 20
Der Vektor OV ist der Ortsvektor der Ebenengleichung also ( 1 / 2 / 3 ).
Nun können wir das ganze wieder einsetzen in die allgemeine Gleichung für die Koordinatenform E: ax + by + cz = d:
E: 4x + 5y + 2z = 20
Eine Ebene in Parameterform ohne Zwischenschritt in die Koordinatenform zu bringen ist die Aufgabenstellung des folgenden Mathevideos zum Thema Vektorrechnung:
Wer das Vektorprodukt nicht benutzen darf, muss diesen rechnerischen Umweg wählen, sonst könnte Punktabzug drohen.
Weiterführende Links z.B. dazu, wozu man das macht, eine Parameterform in Koordinatenform umwandeln.
Und hier dann zum Mitschreiben der quasi finale Bildschirm:
Parameterform in Koordinatenform
Normalenvektor ohne Vektorprodukt für die Umwandlung
Parameterform in Koordinatenform Alternative Berechnung
Aber das Vektorprodukt kann man dann immer noch zur schnellen Probe verwenden 😉
Weiterführende Links
Alle Beiträge zum Thema Ebenengleichungen umwandeln und zur Übersicht Vektorrechung findest Du, wenn Du auf diese Bild klickst:
Ebenen umwandeln 400
Wenn man sich seines Ergebnisses unsicher ist, macht es natürlich auch Sinn, die Probe durchzuführen, um dann beschwingten Geistes in der Klausur über analytische Geometrie weiter zu rechnen, wissend, dass man die Parameterform richtig in die Koordinatenform gebracht hat und damit jetzt die weiteren Aufgaben leichter und schneller rechnen kann.
Wer sich eine weitere Art der Umformung von Parameterform in Koordinatenform anschauen möchte – hier geht’s zur alternativen Berechnungsmethode .
Diese Umwandlung ist nämlich für fast alle Aufgaben sinnvoll, in denen man Lagebeziehungen von Ebenen mit Punkten, Geraden und weiteren Ebenen bestimmen will – dazu hier ein paar weiterführende Beispiele:
Die Lagebeziehung von Punkt und Ebene lässt sich natürlich auch in anderen gegebenen Ebenenformen zügig durchführen, aber wenn man in der Aufgabenstellung sieht, dass man sowieso die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln muss um zum Beispiel auch noch die
Lagebeziehung einer Gerade mit einer Ebene zu überprüfen, dann lohnt sich auch schon im Fall Punkt/Ebene die Umformung.
Wenn es um die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen geht, führt unter Geschwindigkeitsgesichtspunkten absolut kein Weg mehr vorbei an der Umwandlung.
Und geht es um den Schnittwinkel, den zwei Ebenen mit einander bilden , dann ist auch hier die Umwandlung oft das Mittel der Wahl, denn man braucht dazu eleganter Weise die Normalenvektoren.
