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Partialbruchzerlegung so funktioniert's!

Bei der Partialbruchzerlegung gibt es mehrere Fälle zu betrachten und zu kennen, wenn klar ist das der Grad der Polynomfunktion im Zähler größer ist als der im Nenner.

Erster Fall: Der Nenner hat Nullstellen im Bereich der reellen Zahlen:

Zweiter Fall: Der Nenner hat keine reellen Nullstellen.

Der Koeffizientenvergleich kann auch schon mal eine Lösung über ein lineares Gleichungssystem erfordern.

Partialbruchzerlegung ein Beispiel

Unser Ausgangsintegral ist eine gebrochen-rationale Funktion, bei der der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist.

Deshalb ist unser erster Schritt eine Polynomdivision .

Dabei erhalten wir einen neuen Term, der die Funktion von vorher, vereinfacht darstellt.

In unserem Fall besteht die Lösung aus einer ganzrationalen Zahl, nämlich 3, und einem neuen gebrochen-rationalen Term.

Die Lösung schreiben wir nun in das Integral.

Da im neuen Bruch der Zählergrad kleiner dem Nennergrad ist, arbeiten wir mit der Partialbruchzerlegung.

Dafür untersuchen wir den Nennerterm zuerst auf Nullstellen. Da unser Term zweiten Grades ist, wenden wir die p-q-Formel an. Dabei erhalten wir die Nullstellen 2 und 3.

Bei der Partialbruchzerlegung setzen wir nun den Bruch aus der Lösung der Polynomdivision mit einer Summe aus zwei neuen Brüchen gleich.

Das heißt der Nenner wird in zwei Linearfaktoren aufgelöst , wir wenden also die Partialbruchzerlegung an.

Diese haben im Zähler jeweils eine Variable, A und B, und im Nenner jeweils x minus 2 beziehungsweise 3.

Nun multiplizieren wir diese beiden Brüche mit dem Nennerterm der Polynomdivision.

Dabei erhalten wir A multipliziert mit dem Nenner von B und umgekehrt.

Dieser Term wird ausmultipliziert und umgestellt, sodass man die gleiche Form wie auf der linken Seite der Gleichung erhält.

Dabei erhält man in unserem Fall für den Vorfaktor von x, der hier 3 ist, A+B und für -7=-2A-3B.

Dies ist nun ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhalten wir B=1 und A=2.

Durch das Einsetzen dieser Lösung in die Ausgangsgleichung mit A und B erhalten wir einen neuen Term für die gebrochen-rationale Funktion nach der Polynomdivision.

Bleibt nach der Partialbruchzerlegung ein einfacher Term mit drei Summanden, von dem man ganz einfach die Stammfunktion bilden kann und somit die Lösung des Integrals erhalten.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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