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Partielle Integration: die Produktintegration

Die Formel für die partielle Integration (partielle wird von vielen auch parteille getippt) ist eine Sache für sich, es wird nämlich integriert und abgeleitet in einer Formel. Hinzu kommt auch noch, dass man erst einmal erkennen muss, dass dieses Verfahren angewendet werden muss.

Diese zweite Aufgabe lässt sich auch mit Substitution lösen, wie Anne in den Kommentaren richtig angemerkt hat - deshalb hier einmal die Lösung für diesen alternativen Lösungsweg. 

Wer sich für die

Herleitung Formel partielle Integration

interessiert oder sie bei seinem Lehrer unbedingt braucht, dem sei hier viel Spaß oder Ruhe und Geduld gewünscht. Video ist oben dabei.

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In so gut wie allen Fällen, in denen sinus und cosinus und ein Malzeichen in der Integrandenfunktion (also der Funktion, die integriert werden soll,) vorkommen, kann man mit der partiellen Integration "was reißen".

Dabei gibt es zwei unterschiedliche Muster: Entweder der andere Funktionsteil ist eine Potenz, die sich ableiten lässt, bis sie schließlich verschwindet:

Partielle Integration mit cos

Oder es ist sowas wie hier, wo man dann einen kleinen Trick anwenden muss:

e^x und sinx

Aber auch bei sinus und cosinus gibt es natürlich auch wieder Ausnahmen, oder sagen wir, Alternativen:

Integration sin(x)*cos(x) auf unterschiedlichen Wegen

Und manch ein Lehrer will einen auch aufs Glatteis führen, in dem er Aufgaben stellt, die nach partieller Integration aussehen, in Wirklichkeit aber anders gelöst werden:

sin(x^2)*2x

Auch hier fühlt sich der Lösungsweg an wie ein Trick, denn man denkt erst mal gar nicht an partielle Integration bei der:

Stammfunktion von ln(2+x^2)

Das, was für die partielle Integration mit trigonometrischen Funktionen galt, gilt in etwa auch für die Produktintegration mit der e-Funktion, denn die lässt sich auch nicht "zu Ende ableiten", dafür bleibt sie sich aber treu, egal, ob man sie aufleitet oder ableitet:

Partielle Integration e-Funktion

Manchmal kommt es auch so, dass man die

partielle Integration mit der Substitutionsmethode koppeln muss

Und last but not least ein beast aus dem Reich der Wurzeln:

Stammfunktion Kettenregel mit Wurzel

Aus dem ersten Video:

Um ein Integral mithilfe der partiellen Integration lösen zu können muss der zu integrierende Term ein Produkt sein.

In unserem Fall besteht das Produkt aus einem ganzrationalen Faktor und einer Wurzel. Durch die Wurzel kann man nicht einfach durch Multiplikation den Term vereinfachen. Für die partielle Integration betrachtet man beide Faktoren des Produkts als einzelne Funktionen.

Somit wird der ganzrationale Term zu f und die Wurzel zur Ableitung von g.

Nach der Formel für partielle Integration muss dieses Integral gleich dem Produkt aus f und g minus dem Integral von der Ableitung von f multipliziert mit g.

Bei unserem Beispiel bedeutet das nun, dass wir die Stammfunktion der Wurzel benötigen und diese mit dem ganzrationalen Term multiplizieren.

Die Stammfunktion der Wurzel erhalten wir über die Kettenregel. In dem Integral, das von diesem Produkt subtrahiert wird multiplizieren wir die Ableitung des ganzrationalen Terms mit der Stammfunktion der Wurzel.

Die Ableitung von f ist hier 1, weshalb wir nur die Stammfunktion von g integrieren müssen. Auch dies erhalten wir wieder über die Kettenregel.

Zum Schluss vereinfachen wir den Term, soweit dies möglich ist.

In unserem speziellen Fall können wir zuerst die Terme mit x+5 zusammenfassen und dann die Wurzel ausklammern. In der Klammer bleibt nun eine Summe, die man wiederum noch zusammenfassen kann. Am Ende bleibt ein vereinfachter term, der die Lösung des ersten Integrals darstellt.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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