Hier gehts zu den besten Videos zu dem Thema Polynomdivision


Anzeige

Die Polynomdivision wird vor allem zum Berechnen von Nullstellen verwendet und kommt darüber hinaus bei der Berechnung von Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen zum Einsatz.

In den folgenden Beiträgen kannst Du Dir in vielen Videos ansehen, wie das genau funktioniert.

  • Basisvideos und Beispiele
  • Spezialfälle Polynome mit "fehlenden" Gliedern
  • Horner Schema als Alternative
  • Anwendung in...

Beispiele Polynomdivision

Polynomdivision ist eine Technik, die benötigt wird um Nullstellen von schon recht komplizierten Funktionen zu berechnen. Polynomdivision ist eine der Techniken zur Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen - neben der pq-Formel, dem Auflösen nach x, x ausklammern, Substitution oder eben Polynomdivision mit vorherigem Raten einer Nullstelle. Die Videos dazu gibt’s bereits hier. Daneben wird die Polynomdivision auch gerne gebraucht, um die Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen zu bestimmen. Hinweis: In den ersten beiden Videos müssen die Klammern so gesetzt werden wie im dritten Video ;) damit die gesamte Funktionsgleichung durch den Linearfaktor geteilt wird und nicht nur das letzte Stück - vielen Dank an Karl und seinen Lehrer, die darauf hingewiesen haben!

Wie man die erste Nullstelle systematisch “raten” kann, zeige ich im Video Horner Schema statt Polynomdivision

Und ein Spezialvideo, wenn einzelne Exponenten unsichtbar sind - dieses Video ist ein Beispiel für eine Asymptotenberechnung einer gebrochenrationalen Funktion.

Zweimalige Polynomdivision

Manchmal muss die Polynomdivision zweimal hintereinander durchgeführt werden! Das kommt zum Beispiel bei Polynomen ab dem vierten Grad vor.

Andere Verfahren statt Polynomdivision

Das Dividieren von Polynomen kann man auch umgehen und kann zum Beispiel auch das Horner Schema verwenden.

Wenn Polynomdivision nicht mehr hilft…

… weil zum Beispiel keine ganzzahlige Nullstelle geraten werden kann, hilft oft nur noch das

Newtonsche Näherungsverfahren

Zur Übersicht über alle Beiträge, in denen Videos zur Polynomdivision vorkommen:

Spezielle Polynome: Polynomdivision mit fehlenden Gliedern

Die Division des Bruchterms (a³+b³)/(a²-b²) wird angefangen, bis man vielleicht frustriert feststellt, dass man damit auf keinen grünen Zweig kommt. Und dann beginnt die wundersame Wuchtbrumme namens binomische Formel ihre Wirkung zu entfalten:

Horner Schema als Alternative

Anwendung

...in der Integralrechnung

Integral Polynomdivision und Partialbruchzerlegung

...bei der Asymptotenberechnung

Asymptote über oder unter der Funktion

Fragen zur Polynomdivision

Was bedeutet ein Rest bei der Polynomdivision?

Kommt ein Rest heraus, kann das zweierlei bedeuten: Bist du gerade dabei Nullstellen zu berechnen, dann hast du diese entweder falsch berechnet, oder du hast dich bei der Polynomdivision verrechnet.

Wenn du gerade die Asymptote einer gebrochen rationalen Funktion berechnest, dann bedeutet der Rest, dass es sich bei der Funktion wirklich um eine gebrochen rationale Funktion handelte.

Wo bekommt man beim Dividieren von Polynomen den Divisor her? Oder anders gefragt: Woher weiß ich, durch welche Polynome ich dividieren darf? Wie finde ich die erste Nullstelle durch ausprobieren raus?

Diese Fragen werden am häufigsten in diesem Zusammenhang gestellt. Zumeist wollen wir ja mit diesem Verfahren Nullstellen einer ganzrationalen Funktion berechnen. Hier wird, für den Mathematikunterricht an der Schule völlig untypisch, die erste Nullstelle oder der Divisor geraten, allerdings systematisch geraten.

Das System funktioniert folgendermaßen: als erstes nimmt man sich den absoluten Term der Funktionsgleichung vor, und bestimmt seine Teiler. Als nächstes setzt man diese Teile in die Funktionsgleichung für X ein. Kommt für einen dieser Werte das Ergebnis null heraus, so teilt man als nächstes die gesamte Funktionsgleichung durch den Linearfaktor X minus den Wert.

Manchmal kann man keine ganzzahligen Nullstelle raten. Hier kommt der Taschenrechner ins Spiel. Bei den meisten Taschenrechnern die man in Mathematik in der Schule verwenden darf, ist eine Funktion zur Berechnung von Wertetabellen vorhanden. Nachdem der Taschenrechner einem die Tabelle zeigt, nimmt man den x-Wert, für den der Taschenrechner den Y-Wert Null ausgibt, und verfährt genauso, als hätte man die Nullstelle selber geraten.

Wie sehe ich nun, dass ich ausklammern kann, oder die Polynomdivision anwenden muss?

Hierzu empfehle ich den Beitrag Verfahren zur Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen. Ausklammern kann man immer dann, wenn alle Terme der ganzrationalen Funktion ein X aufweisen. Das X mit dem niedrigsten Exponenten kann dann ausgeklammert werden.

Ich habe nach der Polynomdivision noch einen Rest übrig. Wie gehe ich jetzt vor?

Wenn das passiert, dann kontrollieren noch einmal, ob du wirklich die richtige Nullstelle geraten hast. Wenn das der Fall ist, dann musst du nochmal deine ganze Rechnung kontrollieren.

Beispielaufgaben und Übungsaufgaben zum Dividieren von Polynomen

f(x)= x^3-2x^2+x

x^3-8x-8x+2=0

f(x) =x³ + 2x² + 56

Begriffsklärung

Polynom und Polynome

ein Polynom ist in der Mathematik ein Ausdruck (Nomen), das aus vielen Ausdrücken zusammengesetzt ist. Verschiedene Polynome sind ja bereits oben in den Videos gezeigt worden. Bei der Polynomdivision wird also ein Polynom durch ein weiteres Polynom geteilt.

Grad von Polynomen

der Polynomgrad, oder der Grad eines Polynoms, wird bestimmt durch die Variable mit dem höchsten Exponenten. Der Polynomgrad ist dieser höchste Exponent. Der Ausdruck ganzrationale Funktion dritten Grades bedeutet, dass der höchste Exponent in dieser Funktionsgleichung eine drei ist.

Polynome bestehen aus Variablen. Diese Variablen können ja mit Zahlen mal genommen werden, oder Exponenten aufweisen. Der Polynomgrad orientiert sich dabei immer an den Exponenten der Variablen.

Polynomdivision Basisbeitrag

In diesem Video soll es um die Frage gehen: Wie viele Nullstellen hat eine Funktion die folgendermaßen aussieht:

f(x) = x³ - 1,18x² - 1,48x - 0,32

Wir haben hier jetzt eine Funktion dritten Gerades. Dafür gibt es jetzt keine Formel, wie die PQ Formel, wie bei den quadratischen Funktionen. Hier gibt es nun einen bestimmten Weg, den man wie folgt gehen sollte:

Lösung:

  1. Funktion 0 setzen
  2. Nullstelle raten
  3. Polynomdivision
  4. PQ Formel oder ähnliches Methode um weitere Nullstellen zu berechnen

Polynom gleich Null setzen

Nun machen wir eine Tabelle: Den Nullstellen von Polynomen ratend auf der Spur:

x -2 -1 0 1 2
f(x) -10,08 -1,02 -0,32 -1,98 0

Das ganze können wir nun mit dem Taschenrechner ausrechen.

Wenn wir bei diese Zahlen / diesem Zahlenraum keine Nullstelle finden, haben wir was falsch gemacht. Manchmal gibt es noch Klausuren, bei denen man von 3 bis -3 gehen muss. Aber in 95 % der Fälle reicht es von 2 bis -2 zu gehen.

Wir haben nun festgestellt, dass bei x = 2 f(x) = 0 rauskommt. Dann können wir aufhören, denn die Zahlen in der Tabelle interessieren uns gar nicht. Wichtig ist nur herauszufinden, wo die 0 Stelle liegt.

Jetzt haben wir 1.) und 2.) abgeschlossen und kommen zum Teil, indem es in diesem Video ja schließlich gehen soll: Der Polynomdivision.

Noch einmal zur Erinnerung: Wir hatten als x = 2 herausbekommen. Deswegen müssen wir unsere Funktion nun durch (x-2) teilen. Das Vorzeichen muss umgedreht werden. Das muss man sich nicht erklären, das sollte man sich einfach nur merken.

x³ - 1,18x² - 1,48x - 0,32 : ( x-2 ) =

Wir nehmen nun das erste Element mit x und teilen es durch das erste Element von (x-2) also durch x.

x³ - 1,18x² - 1,48x - 0,32 : ( x-2 ) = x²

Jetzt rechnen wir das ganze zurück und ziehen es von der ersten Zeile ab:

x³ - 1,18x² - 1,48x - 0,32 : ( x-2 ) = x²

-(x³ - 2x²)

0 + 0,82x²

Jetzt zieht man die -1,48 runter und teil es wieder durch das x. Das ganze läuft einfach so weiter:

Polynome dividieren

     

Wenn im letzten Schritt nicht 0 raus kommt, haben wir uns verrechnet oder haben die falsche Nullstelle angenommen.

Im Ergebnis steht nun eine quadratische Funktion, die wir mit pq-Formel ausrechnen können. Dazu gibt‘s zwar schon ein Video, wir lösen die Aufgabe aber noch einmal zusammen.

4.) PQ-Formel

Nach dem Dividieren der Polynome

Also wissen wir nun, dass die gegebene Funktion 3 Nullstellen hat.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



Die besten Videos in Polynomdivision:


Hat dir dieser Beitrag geholfen?