Hier gehts zu den besten Videos zu dem Thema Projektion und Spiegelung


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Projektion und Spiegelung, was macht man in diesem Thema in der Schule?

Die groben Unterthemen von Projektion und Spiegelung in der Vektorrechnung in der Schule sind folgende:

  • Wie funktioniert die Punktspiegelung?
  • Wie projiziert man einen Vektor?
  • Warum funktioniert die Projektion eines Vektor und wie komme ich auf die Formel?
  • Wie kann ich geraden und Ebenen spiegeln?

Anwendungen von Projektion und Spiegelung

  • Schattenwurf eines Stabes
  • Pyramidenschatten auf einer Koordinatenebene

Herleitung Formel senkrechte Projektion eines Vektors

Die Herleitung der Formel zur senkrechten Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor wird in diesen Videos auf zwei Wegen gezeigt. Zusätzlich finden sich weiter unten ein Videos für eine Umformung zu einer anderen Schreibweise der Projektionsforml aus den beiden ersten Videos. Hinter diesem Link findest Du eine Beispielaufgabe zur Projektion eines Vektors .

Und hier das Video, das zeigt, dass das Quadrat des Betrags eines Vektors gleich dem Quadrat dieses Vektors ist. Das ist die unterschiedliche Schreibweise der Formel aus den ersten Herleitungsvideos.


Projektion eines Vektors

Die Projektion eines Vektors ist eine Vokabel aus der Vektorrechnung, bei der man so leicht durcheinander kommen kann wie bei Links und Rechts - also entweder immer oder nie - für den Fall immer jetzt dieses Video: Die Herleitung der Formel zur Projektion eines Vektors im verlinkten Videobeitrag .

Zur relevanten Übersicht - ich habe diesen Beitrag eingeordnet in die Kategorie Vektorrechnung

Aus dem Video Projektion eines Vektors - Hintergrund und Vorgehen

Die Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor ist eine recht simple Rechenoperation im Bereich der analystischen Geometrie / Vektorrechnung. Sie führt dazu, einen Vektor w orthogonal auf einen Vektor r zu projizieren, sodass ein rechter Winkel auf am Vektor r entsteht. Das gezeigte Video verdeutlicht diese Ausgangssituation. Der daraus resultierende Vektor p berechnet sich aus:

p = ( (w * r) / (r * r) ) ** r

(Das Zeichen * soll hier als Skalarpodukt gelesen werden, ** als Skalarmultiplikation. Erläuterungen dazu befinden sich im folgenden Text.)

Schritt für Schritt Anleitung

Skalarprodukte bilden

Als Erstes wird wird das Skalarprodukt aus den Vektoren w und r gebildet. Dazu werden jeweils zughörige Einträge (Koordinaten) beider Vektoren multipliziert und aufaddiert. Das Ergebnis ist ein Skalar (eine Zahl, kein Vektor.)

Beispiel in 2D: w * r = w1 * r1 + w2 * r2

Analog wird das Ergebnis von r * r bestimmt.

Ergebnisse dividieren

Danach werden die Ergebnisse der Skalaprodukte von oben, man kann auch sagen die resultierenden Skalare, dividiert, das Ergebnis nennen wir zum Beispiel s.

Skalarmultiplikation

Jetzt wird die Zahl s mit dem Vektor r multipliziert.

Die anzuwendende Skalarmultiplikation (kein Skalarprodukt!) wird durch multiplizieren von s mit jedem Eintrag aus r durchgeführt. Das Ergebnis ist der gesuchte Vektor p.

Beispiel in 2D: p = (r1 * s, r2 * s)

Schattenwurf mit Vektoren

Der Schattenwurf ist in den letzten Jahren häufiger in Abiturklausuren aufgetreten. Meistens steht ein Gebäude, eine Pyramide zum Beispiel oder aber auch nur ein Schornstein oder ein Stab in der Gegend herum. Jetzt kommt aus einer bestimmten Richtung ein Lichtstrahl und ein Schatten wird geworfen.

Schattenwurf Pyramide

Der Pyramidenschatten - es ist eine Pyramide gegeben und die Richtung aus der das Licht kommt (natürlich als Vektor). Daraus soll jetzt der Schatten an der x-z-Ebene und auf dem Boden bestimmt werden.


Mit Vektoren spiegeln, da können wir einen Punkt an einem Punkt spiegeln oder einen Spiegelpunkt ermitteln oder einen Punkt an einer Koordinatenebene spiegeln.

Vektoren Spiegelung Video 1

Ein weiteres tolles Basisbeispiel zur Spiegelung von Punkten in der Vektorrechnung.

Wir haben Punkt C (5/1/3) und der soll am Punkt Q (1/1/4) gespiegelt werden.

Nun sollen wir den Spiegelpunkt C berechnen.

Wir nehmen das jetzt wörtlich und zeichnen hier den Punkt C und Q ein. Schematisch sieht das ganze genau so aus. Diese zwei Punkte liegen auf einer Geraden und zwar auf der Geraden durch Punkt C & Q.

Das heißt als erstes stellen wir die Gerade durch C & Q auf, wenn wir von C als Ortsvektor los gehen werden wir dazu gleich etwas feststellen.

Wir müssen in diesem Fall 1 mal in Richtung Q gehen und dann noch einmal die gleiche Entfernung uns von Q weiter bewegen, dann kommen wir zum Punkt C'.

Wir stellen als erstes folgende Formel auf:

G:X-Vektor = (5/1/3) + R mal (-4/0/1)


Das ist die ARBAFORMEL, zu dieser gibt es noch ein Basisvideo.

Wenn wir jetzt also für R eine 1 einsetzen entsteht folgende Zusammensetzung :

(5/1/3) + 1 mal (-4/0/1) = 1/1/4 

Das ist der Punkt Q, dass heißt wenn ich für den Buchstaben R die 1 einsetze komme ich bis zum Punkt Q. Mit R = 2 komme ich bis zum Punkt C' und genau das machen wir nun auch.

Wir rechnen:

C' Vektor = (5/1/3) + 2 * (-4/0/1) = (-3/1/5)C' (-3/1/5)

Was wäre gewesen, wenn wir hier nicht von C ausgegangen wären, sondern von Q.

Also folgende Formel :

G:X-Vektor = (1/1/4) + R mal ( 4/0/-1)

Wenn wir als R eine 1 eingesetzt hätten, wären wir von Q aus trotzdem zum Punkt C gekommen.

Jedoch wäre dies in umgekehrter Richtung passiert.

In der Gleichung für C' hätten wir dann anstatt einer 2, eine -1 einsetzen müssen.

C' Vektor = (1/1/4) -1 * (4/0/-1) = (-3/1/5)

Mit dieser Gleichung wären wir auch auf C' gekommen, es sind allerdings zwei unterschiedliche Ansätze.  Man muss allerdings darauf achten, welcher Punkt woran gespiegelt wird. 

Vektoren Spiegelung Video 2

Die nächste Spiegelung heißt der Punkt B (4/1/-2) wurde durch den Punkt P mit den Koordinaten, die wir noch nicht kennen auf den Punkt B' (0/3/0) gespiegelt.

Jetzt denken wir uns nochmal folgendes:

Auf einer Geraden liegen Punkt B und Punkt B', B wurde durch den Mittelpunkt P als Punkt B' gespiegelt. Der Weg von B zu P ist genau so weit wie der Weg von P zu B'.

Deswegen ist P der Mittelpunkt von Punkt B und B'.

Hierfür gibt es eine Vokabel : Der Mittelpunkt von 2 Punkten, in diesem Fall Punkt B und Punkt B',

ist gleich B Vektor + B' Vektor geteilt durch zwei.

In unserem Fall heißt das:

B' (4/1/2) + (0/3/0) : 2 = (2/2/-1)

Das ganze kann man sich auch noch einmal in den Basisvideo zum Mittelpunkt zwischen zwei Punkten in der Vektorrechnung ansehen.

Das Ergebnis für die oben genannte Aufgabe ist Punkt P ist gleich (2/2/-1).

Dazu schreibt man dann noch einen Antwortsatz.

Aufgabe zu Projektion und Spiegelung

Der Punkt R (-1/1/-5) ist Spiegelpunkt zu P (7/5/7) bezüglich einer Ebene E.
Geben Sie die Koordinatengleichung dieser Ebene E an.

Spiegelebene aus Spiegelpunkt ermitteln

Ok, die Aufgabe habe ich in der Lösung ein wenig abgewandelt und die Skizze ist nur zur Veranschaulichung (also die Punkte sind nicht eingezeichnet, sondern nur, damit man sich vorstellen kann, was da passiert).

Als erstes kann man aber sehen, dass der Vektor, der A und A' verbindet, der Normalenvektor der Ebene ist. Das Bild zeigt jetzt die Lösung, wenn man eine Ebene durch den Punkt A nlegen wollte, das ist nicht die gesuchte Spiegelebene. Das Einzige, was man braucht, um die gesuchte Spiegelebene zu finden, ist der Mittelpunkt der Strecke AA'.

Wenn ich richtig gerechnet habe, kommt bei der Aufgabenstellung für die Spiegelebene heraus: E=8x+4y+12z=48

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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