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Was ist die quadratische Ergänzung und was macht man mit ihr?


Die quadratische Ergänzung ist der Trick, mit dem man eine quadratische Funktionsgleichung in die Scheitelform oder auch Punktscheitelform bringt. Aus dieser Form der Funktionsgleichung kann dann der Scheitelpunkt abgelesen werden. Einen schnelleren Weg bietet die Formel zur Umwandlung in Scheitelpunktsform, aber in hier geht's um die ausführliche Methode, wie sie häufig in Klassenarbeiten gewünscht wird.
Im ersten Schritt wird die Zahl vor dem x² ausgeklammert und zwar eleganter Weise nur aus dem Term mit x² und dem Term mit dem x - nicht aber aus der Zahl ohne x.
Danach nimmt man in der Klammer die Zahl vor dem x, teilt sie durch 2, quadriert sie und hängt dieses Gebilde, das man die quadratische Ergänzung nennt, einmal mit plus und einmal mit minus davor hinter die beiden Terme in der Klammer.
Warum man das ganze macht? Das hat mit den binomischen Formeln zu tun, vor allem mit der ersten und der zweiten - und die gesammelten Videos, vor allem auch zu den Übungen findest Du hier auf OberPrima.
Ganz wichtig ist in jedem Fall, dass die Klammern richtig gesetzt werden müssen, damit nicht schief geht.
Weiter in der Aufgabe wird die äußere Klammer ausmultipliziert (nicht, die mit dem Quadrat dran!) und im letzten Schritt noch die Zahl, aus der wir am Anfang nicht ausgeklammert hatten (im Beispiel die -15) mit der anderen entstandenen Zahl zusammengerechnet.
Und hier die zweite Version, gewünscht von Simone, die man nur anwenden darf, wenn man die Nullstellen der Funktion sucht und keine Formel (pq-Formel oder ABC- oder Mitternachtsformel ) benutzen darf.
Also hier geht es um Nullstellenberechnung mit der quadratischen Ergänzung!
Als nächstes ein Video mit der Spezialaufgabe: Schreibe als Summe zweier Quadrate - auch hier: quadratische Ergänzung :)

Beispiel: Aufgabe Scheitelform und quadratische Ergänzung 

Beispielaufgabe zur Bestimmung einer Scheitelpunktform aus einer allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung:

Vorbereitung einer quadratischen Gleichung auf die quadratische Ergänzung
Die Besonderheit ist der Parameter a, den wir nicht einfach ersetzen können.  Aber wir können das Schema für die allgemeine Form zur Umformung in eine Scheitelform trotzdem benutzen. Im ersten Schritt wird in dem Fall die 2 ausgeklammert.Quadratische Gleichungen mit quadratische Ergänzung erfordern das Ausklammern
Wichtig ist hier, dass wenn wir wieder mit 2 multiplizierten, aus a/2 wieder a erhielten. Jetzt kommt der Teil mit der quadratischen Ergänzung.
Dazu wird erst einmal die bisherige Gleichung übernommen und  dann in die Klammer am Ende  etwas  mit „+ … - …“ eingefügt.  Hierfür wird a/2 halbiert und quadriert:

Die quadratische Ergänzung im Beispiel einer quadratischen Gleichung

Im nächsten Schritt können wir zusammenfassen, denn in der Klammer rechnen wir mit der  ersten binomischen Formel.

Umformen mittels binomischer Formel das ist das Ziel der quadratischen Ergänzung bei der Umformung von quadratischen Gleichungen
Jetzt ist Ausmultiplizieren an der Reihe. Wir arbeiten uns hier von innen nach außen vor. Bei einem zu quadrierenden Bruch, müssen wir Zähler und Nenner quadrieren.

Quadratische Ergänzung umformen der Peripherie der quadratischen Gleichung
Nun mit 2 multiplizieren und  dann  - a²  auf einen Nenner bringen und zusammenfassen.Quadratische Ergänzung mit ausmultiplizieren und Bruchrechnung im Bereich von quadratischen Gleichungen

Fast die Lösung der quadratischen Gleichung mit quadratischer Ergänzung
Der entstandene unechte Bruch lässt sich wiederum anders schreiben und wir erhalten unseren neuen Term:

Die quadratische Ergänzung führt zur Lösung bei der Umformung von quadratischen Gleichungen in die Scheitelform
Wenn wir wissen wollen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir für a eine beliebige Zahl einsetzen, beispielsweise a=4. Wir setzen dann die 4 in unsere umgeformte Gleichung ein und in die ursprüngliche.  Anschließend  kann man zur Kontrolle z.B. f(2) bestimmen.

Anwendung der quadratischen Ergänzung

Bereits ab der neunten Klasse werden Extremwertaufgaben gestellt, bei denen man aus dem Aufgabentext zwei Bedingungen aufstellen muss. Die führen dann auf eine quadratische Zielfunktion, von der man den Extremwert berechnen soll. Und dieser Wert ist bei einer Parabel der Scheitelpunkt.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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