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Was ist genau die Regula Falsi und wofür wendet man sie an?

Die Regula Falsi ist ein Verfahren zur Näherung von Nullstellen von Funktionen.

Der Ausdruck bedeutet direkt übersetzt Regel des Falschen und wird auch Sekantenverfahren genannt.

Hier schon gleich mal die Grundformel mit einer Erklärung der einzelnen Teile.

  • x* ist die erste Näherung an die Nullstelle.
  • a und b sind X Werte, zwischen denen eine Nullstelle liegt. In diesem Intervall können wir mit unserem Verfahren eine Nullstelle finden. Das bedeutet, dass der Funktionswert von einem dieser beiden Werte negativ und der andere positiv sein muss. Denn dann befindet sich bei einer stetigen Funktion zwischen diesen beiden Werten mindestens eine Nullstelle. Sonst würde es auch keinen Sinn machen, dazwischen nach einer Nullstelle zu suchen, oder?
  • f(a) und f(b) sind die zu a und b gehörenden Funktionswert.

Nachdem man x*mit der Formel ausgerechnet hat, setzt man diesen Wert in die Funktion ein und bestimmt damit f(x*). Dieser Funktionswert kann jetzt wieder oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen. Ist y* positiv, so arbeitet man im nächsten Schritt mit dem Wert (a oder b), der negativ ist. Andernfalls arbeitet man mit dem positiven X Wert weiter.

Berechnung von Nullstellen mit der Regula Falsi

Beispiel einer Aufgabe zur Regula Falsi:

gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und ein Intervall. Die Aufgabenstellung lautet überprüfen Sie die gegebene Funktion auf Nullstellen im Intervall.

Da man die Regula Falsi mit einer Art Tabelle durchführen kann, rate ich dir als erstes eine Zeile mit sechs Spalten aufzuschreiben.

Die Zeile sieht so aus:

abf(a)f(b)x*f(x*)
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Wie lange oder wie oft muss ich denn die Regula Falsi durchführen?

Wenn du das Verfahren ein paarmal durchgeführt hast, (du kannst dir das natürlich auch erstmal in einem Video angucken), dann siehst du, dass der Wert für f(x*) mit jedem Schritt ein bisschen näher an den gewünschten Wert null herankommt. Wir nähern uns ja an.

In mancher Aufgabe steht drin, wann man das Verfahren abbrechen darf. Es kann zum Beispiel die Vereinbarung getroffen sein, dass die Nullstelle bis auf die Tausendstelstelle genau ausgerechnet werden soll. Dann muss in der dritten Nachkommastelle von f(x*) eine Null stehen.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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