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Eine Funktion rotiert um die x-Achse

Stell dir vor im Ursprung des Koordinatensystems dreht sich eine Scheibe. In diese Scheibe steckst du jetzt einen Staat (Gerade, lineare Funktion) und jetzt dreht sich der Teller so, dass der Stab mit seinem einen Ende immer im Ursprung bleibt. Dabei beschreibt der Stab durch seinen Weg um die x-Achse einen Körper. Es gibt sogar einen Namen für diesen Körper: Kreiskegel.

Und so ein Körper hat ein Volumen. Und da dieses Volumen aus der Rotation einer Funktion um die x-Achse entsteht nennt man es Rotationsvolumen.

Formel für das Rotationsvolumen bei der Rotation um die x-Achse

Bildformel Rotationsvolumen

In der Formel sieht man, dass die Zahl Pi als Faktor vor einem Integral steht, und dass die Integrandenfunktion quadriert wird, bevor die Stammfunktion dieser Funktion gebildet wird.

Erinnerung an die Geometrie: erinnerst du dich an die Kreisformel: A=pi*r²? Die Funktion sie deshalb so ähnlich aus, weil beide Formeln tatsächlich etwas miteinander zu tun haben. Stell dir nochmal die gerade vor, die um die x-Achse rotiert nehmen wir jetzt den Endpunkt des Stabes und schau dir an, was für eine Form er beschreibt. Das ist ein Kreis. Jetzt schneide in Gedanken den Stab in ganz viele (unendlich viele) unendlich kleine Teile. Und lass diese Teile jetzt den selben Weg beschreiben wie vorher den ganzen Stab. Jetzt rotieren unendlich viele dünne Stücke in Kreislinien um die x-Achse. Das Integral, so kann man sich ganz gut merken, summiert diese Kreisflächen auf.

Rotationsvolumen bei Rotation um die y-Achse

Bei der Rotation um die Ordinate brauchen wir einen kleinen Kunstgriff: wir lassen die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren und erhalten dasselbe Ergebnis.

Eingeschlossenes Rotationsvolumen um die x-Achse

Zwei Funktionen umschließen eine Fläche. Und diese Fläche soll in einer bestimmten Aufgabe um die x-Achse rotieren und die Frage ist, wie groß dann das Volumen ist, dass dieses Gebilde begrenzt.

Wichtiger Hinweis das eingeschlossene Rotationsvolumen raffst auf keinen Fall so berechnen wie den eingeschlossenen Flächeninhalt!

Hier gilt folgende Formel:

Bild ein geschlossenes Rotationsvolumen

der Weg, der hier zum richtigen Ergebnis führt, ist folgender:

  • berechne das Volumen, das entsteht, wenn die eine Funktion um die x-Achse rotiert
  • und viele davon das Volumen ab, das entsteht, wenn die andere Funktion und die x-Achse rotiert.

Weitere Aufgaben, in denen das Rotationsvolumen auftaucht oder berechnet werden soll

Da sind zunächst einmal die Extremwertaufgaben, bei denen das maximale Rotationsvolumen berechnet werden soll.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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