Hier gehts zu den besten Videos zu dem Thema Scheitelpunktform


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Was ist die Scheitelform oder Scheitelpunktform?

Die Scheitelform oder auch Scheitelpunktform berechnen wir mit quadratischer Ergänzung aus der allgemeinen Form. So sieht die Scheitelpunktform aus:

Die Scheitelpunktform Formel

Die Parabel mit dieser Gleichung hat Ihren Scheitelpunkt wie angegeben. Der Faktor a ist dafür verantwortlich, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht oder gespiegelt ist.
Was macht diese Form, oder wie kann man sich merken oder vorstellen, was durch das -xs und das a* und das +ys mit der Normalparabel passiert?
Ganz kurz gefasst: Wir verschieben die Normalparabel und strecken, stauchen oder spiegeln sie.

Etwas länger:
Als erstes verschieben wir den Scheitelpunkt der Normalparabel um xs entgegen gesetzt der x-Achse. Deswegen das Minus. Wegen entgegengesetzt.
Danach stauchen, strecken oder spiegeln wir die Normalparabel mit dem Faktor a.
Als letztes bewirkt das +ys, das jeder Punkt auf unserer Parabel um diese Zahl in Richtung der y-Achse verschoben wird.

Rechentechniken zur Scheitelpunktform

Du solltest in jedem Fall fit sein im Bereich der binomischen Formeln. Dann brauchst Du das Ausmultiplizieren und das Ausklammern.

Scheitelpunkt einer Parabel ablesen

Man kann den Scheitelpunkt einer Parabel aus dieser Form der Gleichung ablesen, deshalb heißt Sie Scheitelpunktform.

Scheitelpunkt ablesen Beispiel 1

Was viele in der Nachhilfe und auch in der Schule irritiert: In der Klammer muss man das Vorzeichen umdrehen und außerhalb der Klammer nicht. Ein weiteres Beispiel:

Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform ablesen Beispiel 2

Wenn man sich die beiden Beispiele anschaut, dann sieht man das.

Umwandlung quadratische Funktion in Scheitelpunktform

Gegeben sei eine quadratische Funktion, die so modifiziert werden soll, dass am Ende der „Kern“ der quadratischen Funktion zum Vorschein kommt. Das sind in diesem Fall die Koordinaten des Extremwertes der Funktion. Diese Koordinaten können dann problemlos der Scheitelform entnommen werden.

Erster Schritt zur Umformung der Parabel in die Scheitelpunktform

Im ersten Schritt klammern wir aus den ersten beiden Termen den Faktor vor dem quadratischen Glied aus. Dann folgt eine Nebenrechnung. Man nimmt den Koeffizienten vor dem x und teilt ihn durch 2. anschließend quadriert man ihn.

Nebenrechnung Parabel in Scheitelpunktform bringen

Wieso man das macht? Schau her:

Umwandlung quadratische Gleichung in Scheitelpunktform Loesung

Die 9 aus der Nebenrechnung ist die sogenannte quadratische Ergänzung, manch ein Lehrer spricht auch von der geschickten Null und neulich hab ich sogar den Ausdruck nahrhafte Null gehört. Und die -3 aus dem Zwischenschritt findest Du in der Rechnung bestimmt wieder, oder?

Ein weiteres Beispiel:

Zunächst muss jedoch immer ein, auf den ersten Blick etwas gewöhnungsbedürftiger, Algorithmus abgearbeitet werden, der Sie aber immer zur Scheitelpunktform führt. Um die Komplexität der einzelnen Arbeitsschritte etwas zu reduzieren, werden Sie im Folgenden ein einfaches Beispiel vorfinden, dass Sie entlang des Weges mit hilfreichen Kommentaren unterstützen soll.

Die beispielhafte Funktion lautet: y=3x^2+6x+5

Im ersten Schritt gilt es, den Leitkoeffizienten, also den Faktor vor dem x^2 auszuklammern. Das wäre hier die Zahl 3. Achten Sie unbedingt darauf, nicht auch noch die Konstante +5 in Verbindung mit dem Leitkoeffizienten, also der Ausklammerung, zu bringen. Lediglich Ausdrücke, die eine Abhängigkeit von x aufweisen, müssen sich diesem Verfahren unterziehen.

y=3(x^2+2x)+5

An diesem Punkt ist die Konstante vor dem x innerhalb der Klammer interessant. Diese beläuft sich auf einen Wert von 2. Dieser Wert muss zunächst halbiert und dann wiederum das entstandene Ergebnis quadriert werden. Das bedeutet für das Beispiel:

(2/2)^2=(1)^2=1

Das Ergebnis ist einfach nur 1. Nun folgt der Leitgedanke der quadratischen Ergänzung. Rufen Sie sich dazu nur ins Gedächtnis, dass 1-1 äquivalent zu null ist. Die Funktion lässt sich umschreiben zu:

y=3(x^2+2x+1-1)+5

Innerhalb der Klammer wurde der Ausdruck „+1-1“ hinzugefügt, der dem Umstand geschuldet ist, dass Sie dadurch schneller entweder die ausmultiplizierte Form der 1. oder der 2. binomischen Formel ganz links innerhalb der ganzen Klammer erkennen können.

Nochmals die hervorgehende Zeile, jedoch die relevanten Teile für die binomische Formel hervorgehoben.

y=3((x^2+2x+1)-1)+5

Die Klammer innerhalb der Klammer lässt sich mittels der ersten binomischen Formel vereinfachen zu.

y=3((x+1)^2-1)+5

Ausmultiplizieren führt dann weiter zu.

y=3(x+1)^2-3+5

Nun müssen bloß noch die Konstanten -3 und 5 zusammengefasst werden.

y=3(x+1)^2+2

Ein letzter Schritt trennt Sie noch von der Scheitelpunktform. Entnehmen Sie der letzten Zeile für y die Konstante mit ihrem korrekten Vorzeichen, die dem x in der Klammer der binomischen Formel folgt. Multiplizieren Sie dann diesen Wert mit -1 und Sie erhalten somit die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel. Um die y-Koordinate zu bestimmen, muss aber nur die Konstante mit korrektem Vorzeichen, die dem binomischen Ausdruck nachgestellt ist, abgelesen werden.

In dem vorliegenden Beispiel ist Scheitelpunkt somit:

S(-1|2)

Anmerkung: Da an der Stelle, an der die binomische Formel erkannt werden muss, diese auch gleichzeitig „rückwärts“ angewandt werden soll, sollten Sie sich unbedingt zuvor erneut mit den ersten beiden binomischen Formeln vertraut machen!

Von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form der Gleichung einer Parabel

Scheitelpunktform in allgemeine Form der Parabel umformen

Das funktioniert immer mit diesen drei Schritten:
  • Die binomische Formel anwenden
  • Den Faktor vor der Klammer mit der Klammer multiplizieren
  • Am Ende die Zahlen addieren (oder subtrahieren)

Nullstellen von Parabeln mit der Scheitelpunktform

Die Aufgabe die Nullstellen von Parabeln zu berechnen, die in der Scheitelform gegeben sind, ist ein Klassiker. So geht man am besten vor:

  1. Setze 0 für f(x) oder y ein, je nach dem, was gegeben ist.
  2. Hol den y-Achsenschnittpunkt mit plus oder Minus auf die andere Seite
  3. Teile durch das a
  4. Ziehe die Wurzel (Achtung: Hier musst Du unbedingt plus minus Wurzel schreiben, sonst kriegst Du nur die eine Nullstelle raus, dabei musst du auch noch beachten, dass ab jetzt x1,2 da stehen muss)
  5. Addiere oder Subtrahiere den x-Wert des Scheitelpunktes

Alternativ kannst Du erst die Funktionsgleichung auflösen wie oben gezeigt und dann eine Lösungsformel für Nullstellen, zum Beispiel die Mitternachtsformel, anwenden.

Nachfragen und weiterführende Links zu den Videos zur Scheitelpunktform:

    Hallo, ich schreibe morgen eine Mathearbeit. Die Frage ist, wieso muss man bei

    3(x²-4x)-15

    =3(x²-4x+(4/2)²-(4/2)²-15 rechnen? Das was mich verwirrt ist die 4/2

        Die (4/2)² ist die "quadratische Ergänzung" - die braucht's, um in der Klammer hinterher eine binomische Formel rückwärts anzuwenden. Ansonsten auch noch mal hier schauen oder im Beitrag quadratische Ergänzung

    Wieso steht bei Aufgabe c) Nullstellen berechnen mit der PQ Formel, nach der Klammer noch eine +4 ? Also 0= (x² - 4x +4) +4 also die +4 ist doch schon in der Klammer das versteh ich nicht so ganz.

        Warum da die 4 steht: weil in der Ausgangsfunktion halt hinter der Klammern noch die +4 steht und die Klammer nach der binomischen Formel ausgerechnet wird...

    Ich habe eine andere Frage. Ich habe folgende Formel:

    y= (x-d)² -e

    S(d/e)

        Das stimmt so nicht - es muss heißen: S(d|-e)

    Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie das mit dem Bestimmen des Scheitelpunkts einer Parabel funktioniert... ich schreibe mal eine schon gelöste aufgabe aus dem Unterricht an, vllt könntest du mir ja diese erklären. (Antworten in der Aufgabe)!

    y = 2x² + 3x + 2

    y - 2 = 2x + 3x

    y/2 - 2/2 0 x² + 3/2x

    y/2 - 1 = x² + 3/2x

    y/2 - 1 = (x + 3/ 2 * 2)² - 9/16

    Warum auf einmal 9/16?

    Die 9/16 stehen da, weil (3/(22))²=(3/4)² sind und das sind 9/16 ;) y/2 - 1 = (x+3/4)² - 9/16

    y/2 = (x + 3/4)² - 9/16 + 1

    y/2 = (x+3/4)² + 7/16

    y = 2(x+ 3/4)² + 7/16 * 2

    y = 2 (x + 3/4)² + 7/18 2

    Warum auf einmal 7/8?

    "Da muss was schief gelaufen sein... 7/8 ist schon richtig, aber das +2 dahinter muss noch weg, die 7/8 entstehen aus 2* 7/16, weil man die 16 mit der 2 kürzt..." y = 2 (x+3/4)² + 7/8

    S (-3/4/ 7/8 )

    Warum -3/4?

    "Der x-Wert des Scheitelpunktes ist immer die Zahl in der Klammer mit dem umgedrehten Vorzeichen (kann man sich so merken, oder... man merkt sich, was muss ich in die Klammer einsetzen, damit die Klammer möglichst klein wird, denn dann hat man den höchsten (oder in diesem Fall) den kleinsten y-Wert erhalten)"

    Hi! Kannst du mir bitte schreiben, welchen Scheitelpunkt diese Parabel hat? y=-1,5x²-2 und y=3,5x²-6

        Bei den beiden Funktionen fällt mir auf, dass der Teil mit x fehlt... in dem Fall sind die beiden Parabeln "nur" in y-Richtung verschoben, oder anders ausgedrückt - die x-Koordinate ist in solch einem Fall immer =0! Dann kann man für den Scheitelpunkt x=0 in die Funktion der Parabel einsetzen und erhält den y-Wert des Scheitelpunktes ;)

        Den kann man aber auch anders finden, in dem man die letzte Zahl dafür nimmt , also

        y=-1,5x²-2 S(0/-2)

        und

        y=3,5x²-6 S(0/-6)

    Ermittle jeweils den Scheitelpunkt

    a) f(x)=x(x+2) b) f(x)=x(x-3) c) f(x)=x(x-2)

        Da gibt es mehrere Wege ;) einmal den, die Terme auszumultiplizieren und dann die Geschichte mit der quadratischen Ergänzung zu Ende zu bringen... so wie oben in den Videos und die andere Art und Weise ist deutlich schneller und dazu will ich auf jeden Fall noch ein Video machen.

    Oben bei der 2 Aufgabe beim Video "Scheitelpunktform" heißt die 2. Aufgabe 1/2x^2 -3x + 6,5 .Kommt am Ende nicht eher 11 anstatt 2 raus. Da -3*-3 =9 ist und nicht -9.

        Ich weiß, was Du meinst: da steht -3² - das heißt -33, wenn -3-3 gerechnet werden soll, dann müsste da stehen: (-3)²... Bei der quadratischen Ergänzung (in dieser Aufgabe) geht es ja gerade darum, +9 -9 hinzuschreiben, damit einerseits die Gleichung unverändert bleibt (bzw. identisch bleibt) und auf der anderen Seite braucht man die +9 (oder +3²) um das Binom zu bilden...

    Bei uns in der Prüfung wird hundertprozentig eine Zahl hinter y stehen. So was ähliches 4y=8x²-16x-24. Ich weiß nicht was die Zahl hinter y bedeutet oder wie man es dann ausrechnen muss.

        In dem Fall kannst Du erst mal die ganze Gleichung durch 4 teilen und kommst dann auf einen Ansatz wie in den Videos oben ;)

    Kannst Du mir bitte die Scheitelpunktform dieser Parabel geben: f(x)=3/2x²-8x+5/2.

        Dein Ergebnis noch mal zur Kontrolle: 3/2*(x-8/3)^2-49/6

    Ich verstehe nicht ganz, warum x²-4x+4/2² zu (x-2)² wird ! Video--->(1:35)

    Du hast da gesagt, dass -4x halbiert wird. Wieso heißt es dann (x-2)² und nicht (x-2x)² ? Falls du mit mit der -2 die (4/2)² meinst, versteh ich nicht wieso dann die -4x nicht berücksichtig wird.

        Das kommt ja von den binomischen Formeln Wenn Du (x-2)² ausrechnest, kommt ja x²-4x+4 raus und das entspricht x²-4x+(4/2)²...

    Ich schreibe nächste Woche Freitag meine Abschlussprüfung in Mathe. Beim Lernen kam ich mit der folgenden Aufgabe nicht weiter und bitte dich um Hilfe.

    Gegeben ist die quadratische Funktion f(x)mit der Gleichung:

    y=f(x)=x²+6x+5

    Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel an und zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem!

        Also der Scheitelpunkt ist schon mal S(-3/-4) Deine Aufgabe ist ja sehr ähnlich zu dem, was in den Videos oben passiert, deshalb überlasse ich Dir den Teil ;)

        Und zum Zeichnen hab ich hier einen Link

    In der gleichung 0.1x² - 2.5x hast du -0.1 (x - 12.5)² - 15.625 raus ich verstehe alles bloß nicht wieso -12.5² man rechnet doch 25 : 2 und da kommt kein Minus vor.

        Das ist genau der Schnitzer aus den binomischen Formeln, den ich über dem Video gemeint hatte ;) Richtig müsste das Teil am Schluss heißen: f(x)=-0,1(x+25)²+15,625

    Meine Zeichnung in der Aufgabe, zeigt eine Brücke, die Bei y=10 einen y-Achsenschnittpunkt hat und bei x=20 den Scheitelpunkt mit dem y-Wert 2,5 hat

    Ich dachte mir, das man die Scheitelpunktform nehmen könnte, also

    f(x)=a(x-20)²+2,5 oder? sollte das richtig sein, weiss ich nun nicht, wie ich auf a kommen sollen. Könntest du mir da vielleicht einen ansatz nennen?

        Das ist der absolut richtige Ansatz! :) Wenn Du jetzt noch einen Punkt dazu packst - z.B. P(0/10) - da schneidet ja die Parabel die y-Achse, bekommst Du für a=7,5/400 oder 3/160 raus - nicht schön, aber selten ;) f(x)=a(x-20)²+2,5 x=0 f(x)=10 10=a(0-20)²+2,5 |-2,5 7,5=a(-20)² 7,5=400a |:400 a=7,5/400 ;)

    Ich verzweifel ich an dieser simplen Aufgabe: Gesucht ist der Scheitelpunkt folgender Parabel:

    f(x)= x² - 4x-4

        Die Scheitelpunktform lautet: f(x)=(x-2)²-8

    Hallo, ich hab dein Video gesehen, nur komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter:

    -x^2-4x+5 Ich muss die Scheitelpunktform berechnen können und in dieser Aufgabe ist ein negatives x-Quadrat. Laut Taschenrechner ist der Scheitelpunkt (-2/9) und die x-Schnittpunkte sind x1=-5 und x2=+1.

    also ich rechne:

    -x^2-4x+5 wenn ich alles mal -1 mache, gibt das x^2+4x-5

    (x^2+4x)-5 (x^2+4x+(4/2)^2-(4/2)^2)-5 ((x+2)^2-4)-5 (x+2)^2-9 Muss ich dann diese Antwort mal -1 rechnen?

    Das wäre dann -(x+2)^2+9

    Daraus würden sich auch die Schnittpunkte x1 und x2 berechnen lassen, allerdings mit dem positiven x Quadrat:

    (x+2)^2-9=0 beide Seiten +9 (x+2)^2=+9 Wurzel ziehen x+2=+-3

    x1=5, x2=-1 das wieder mal -1 gibt dann

    x1=-5 und x2=1

    Was sagst du dazu? gäbe es dafür noch eine einfachere Lösung?

        Bei -x^2-4x+5 kannst Du am "einfachsten" -1 ausklammern: -(x²+4x-5) oder, wahrscheinlich noch schlichter, nur aus dem Teil, bei dem die quadratische Ergänzung vorgenommen wird: -(x²+4x)+5 Deine Rechnungen sehen so gewandt aus, dass ich schätze, damit kommst Du zurecht? Achso, und Deine Ergebnisse stimmen auch!!

Aufgaben, in denen die Scheitelpunktform gebraucht wird sind zum Beispiel Extremwertaufgaben, denn der Scheitelpunkt einer Parabel ist ja auch der höchste oder tiefste Punkt.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



Die besten Videos in Scheitelpunktform:


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