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Einführung Sinusfunktion und Kosinusfunktion mit dem Einheitskreis

Der Einheitskreis als Einführung in die trigonometrischen Funktionen, wie z.B. der Sinusfunktion :

Der Einheitskreis ist auch Thema bei der Umrechnung von Bogenmaß ins Gradmaß und umgekehrt .

Aus dem Video Den Sinus mit dem Einheitskreis berechnen

Der Einheitskreis ist in der Mathematik ein Kreis mit der Einheit 1, beziehungsweise dem Radius von genau 1 (um den Kreis zu zeichnen, empfiehlt sich natürlich 1 Dezimeter). Vom Mittelpunkt ausgehend können wir nun wie im Video unterschiedliche Dreiecke in den Kreis hineinzeichnen, die bis zum Rand des Kreises reichen und von dort im rechten Winkel auf die Geraden, die den Kreis in vier gleich große Viertel teilen, zurücklaufen.

Dadurch erhalten wir viele unterschiedliche rechtwinkelige Dreiecke. Da alle Dreiecke vom Mittelpunkt bis zum Kreisrand reichen, ist die Hypotenuse bei jedem Dreieck genau 1 lang.

Um nun die Sinusfunktion zu ermitteln, messen wir von jedem Dreieck die dem Winkel Alpha (das ist der Winkel beim Kreismittelpunkt) gegenüberliegende Seite. Diese ist immer der Sinus! Der Sinus von Alpha ist immer Gegenkathete/Hypotenuse. Da die Hypotenuse gleich 1 ist, folgt -> sin(Alpha)=Gegenkathete.

Somit erhalten wir im Einheitskreis bei 90 Grad einen Sinus von 1, da die Hypotenuse hier den Kreisrand an der höchsten Stelle, also genau bei 90 Grad und exakt bei 1 berührt. Bei 150 Grad ist es nur mehr die Hälfte, bei 270 Grad minus 1. Bei 0 Grad, 180 Grad und 360 Grad ist der Sinus gleich Null, da diese Punkte ganz rechts, beziehungsweise ganz links, also in einer Ebene mit dem Mittelpunkt liegen.

Wir beginnen im Einheitskreis am besten bei 0 Grad und gehen gegen den Uhrzeigersinn immer weiter, um soviele Daten wie möglich zu sammeln.

Die Ergebnisse tragen wir in einem Koordinatensystem ein, wobei die untere Achse die Winkel anführt und die obere Achse für den Sinus steht. Verbinden wir nun unsere Werte, entsteht die Sinuskurve, welche die waagrechte Achse dreimal berühren muss, da wir im Einheitskreis dreimal einen Sinus mit dem Wert 0 haben. Zwei dieser Berührungen kennzeichnen den Anfang und das Ende der Sinuskurve.

Die selbe Methode funktioniert auch für die Berechnung der Kosinusfunktion und ihrer Kurve, wobei wir hier die Ankatheten betrachten müssen und mit dem Uhrzeigersinn vorgehen. Der Graph der Kosinusfunktion gleicht der Sinusfunktion, ist jedoch um 90 Grad versetzt.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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