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Wann brauche ich den Sinussatz?

Der Sinussatz wird immer gebraucht, wenn ich in einem beliebigen Dreieck eine Seite und den ihr gegenüberliegenden Winkel kenne und dazu noch eine Seite oder einen Winkel, dann kommt der Sinussatz zur Anwendung:

Wann brauche ich den Sinussatz


Das Beispielvideo zeigt die Berechnung der fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks. Gegen sind a und alpha und c. Damit wird der Sinussatz (im Bild unten angucken) gefüttert und die Formel, also die Gleichung umgestellt.
Das Ergebnis rechne ich nicht aus, Du findest es aber in den Kommentaren.
Für die Herleitung oder Beweis des Sinussatzes habe ich auch ein Video gemacht.

Herleitung Sinussatz Video


wir wollen den Sinussatz herleiten. Dazu macht es natürlich Sinn sich erst einmal den Sinussatz anzugucken. Hier die Formel:
a sin α = b sin β = c sin γ
entweder so rum, oder so rum:
sin α a = sin β b = sin γ c
man kann immer zwei Brüche und ein Gleichheitszeichen kombinieren. Wichtig ist, dass immer die Winkel und die gegenüberliegenden Seiten einen Bruch bilden.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt ja Sinus alpha gleich Gegenkathete geteilt durch Hypothenuse. Das allgemeine Dreieck zerteilen wir in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem wir die Höhe einzeichnen. Die heißen im Mathe Unterricht auch gerne mal Teildreiecke. Jetzt können wir die beiden Formeln aufschreiben Sinus alpha gleich h durch b und Sinus Beta = h durch a. Beide Gleichungen lösen wir jetzt nach h auf und setzen sie sodann gleich. Das Ergebnis lautet:
b sin α = a sin β
und das kann man dann so umformen, dass der Sinussatz wie oben in den beiden Varianten heraus kommt.
Die Frage, ob ich in einer bestimmten Aufgabe nun den Sinussatz oder den Kosinussatz
benutzen muss, findest Du im dritten Video.

Textaufgabe Video Sinussatz oder cosinussatz?

Die Aufgabe lautet Peter wohnt 320 m östlich von Anna auf selber Höhe. Beide sehen im Osten einen Balkon. Peter in 54° und Anna in 39° Orientierung. Wie hoch ist der Balkon?
Aus dem Aufgabentext wird zunächst eine Skizze angefertigt. Diese müssen wir jetzt analysieren. Was ist gegeben? Und was sollen wir überhaupt berechnen?
Oft ist es bei solchen Aufgaben sinnvoll erst einmal zu gucken, ob man irgendwo Ergänzungswinkel berechnen kann. Dazu gehören zum Beispiel auch die Ergänzung von Winkeln zur Winkelsumme von 180° in einem Dreieck. Das wird jetzt auch in dieser Aufgabe gemacht, beides. Im Dreieck zwischen Anna, Peter und dem Balkon können wir so alle Winkel bestimmen und haben eine seit gegeben. Also können wir in diesem Dreieck den Sinussatz verwenden. Wenn wir den Sinussatz dort anwenden, können wir die restlichen Seiten berechnen. Also die Seitenlängen natürlich. Haben wir erst die Länge der Strecke zwischen Peter und dem Balkon, so können wir im kleinen rechtwinkligen Dreieck rechts mit dem Sinus arbeiten.
Und der Kosinussatz wäre dann hier - denn zumeist kommen beide Sätze in einer Klassenarbeit in Mathematik gemeinsam vor.
Und zu guter Letzt noch eine Anwendung vom Sinussatz am Beispiel einer Dreieckskonstruktion (der Konstruktion von einem Dreieck).
Wer die Formel aus der Schule, von seinem Lehrer oder aus der Formelsammlung anders kennt - für den hier ein Bild, dass die umgestellten Formeln des Sinussatzes zeigt und wann man welche Variante gut benutzen kann.

Sinussatz Formeln


Textaufgabe zu Senkungswinkel und Tiefenwinkel unter Verwendung des Sinussatzes

Horst steht in 30 m Höhe und sieht einen Hasen (ziemlich) die Schnauze erscheint unter einem Senkungswinkel der tiefen Winkel von 30° während der Schwanz und einen tiefen Winkel von 60° zu sehen ist. Berechne die Länge des Hasen. Für diese Aufgabe brauchen wir den Sinussatz.
Aber zunächst einmal erkläre ich dir in diesem Video die Geschichte mit dem Steigungswinkel. Als nächstes brauchen wir einen Ergänzungswinkel. Und dann zur Vorbereitung noch einmal die Definition des Sinus. Dann kommt endlich der Sinussatz zum Einsatz.

Nachfragen und weiterführende Links:
Was ist eigentlich der sinus?
Bei mir kommen komische Werte raus. Was kann da falsch sein?
Beim Berechnen von Gleichungen der Form sin(alpha)=0,5 muss der Taschenrechner immer im Modus DEG stehen.

Übungsaufgaben zum Sinussatz

Eine Seite Übungsaufgaben zum Thema Sinussatz ud Kosinussatz, wie Sie häufig in Klassenarbeiten gestellt werden. Natürlich werden noch mehr Textaufgaben gestellt. Wenn Du Dir die Videos zum Sinussatz oben gut angesehen hast, weißt Du: Ich muss ja nur den Text verstehen. Und ne Skizze machen. Und dann hab ich im Prinzip genau so eine Situation wie in den Übungsaufgaben zum Sinussatz (pdf).

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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