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Wann benutze ich das Skalarprodukt und wofür?

Das Skalarprodukt wird beim Rechnen mit Vektoren zum Ausrechnen von Winkeln zwischen Vektoren und zwischen Vektorgeraden benutzt und das Skalarprodukt findet - wer hätte es gedacht, auch bei der Winkelberechnung von Geraden und Ebenen Verwendung.

In den Videos oben geht es um:

  • Winkel zwischen zwei Vektoren mit Hilfe des Skalarproduktes
  • Schnittwinkel zwischen Geraden mit dem Skalarprodukt
  • Spezialfälle und das Skalarprodukt (Orthogonalität, also senkrecht stehende Vektoren)
  • Schnittwinkel zwischen Ebene in Normalenform und Gerade mittels Formel, in der das Skalarprodukt eine wichtige Rolle spielt

Das Skalarprodukt 


Das Skalarprodukt ist eine der angenehmsten Rechenarten in der Vektorrechnung. Man nennt es auch inneres Produkt oder Punktprodukt, im Gegensatz zum Kreuzprodukt. Bei der Berechnung des Skalarproduktes von zwei Vektoren, kommt eine Zahl heraus. Diese Zahl nennt man auch Skalar.

Skalarprodukt Definition



Wo kommt das Skalarprodukt her? 
Das Skalarprodukt ist eigentlich eine Definition. Es ist eine rechnerische Verknüpfung in der Mathematik, bei der zwei beteiligten Vektoren eine Zahl zugeordnet wird. 
Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist direkt abhängig von der Länge dieser Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel. Allerdings braucht man dieses Wissen bis zum Mathe-Abitur nicht wirklich. 

Die Rechnung, die meistens durchgeführt wird, wenn es in der Schule um das Skalarprodukt geht, sieht so aus:

Skalarprodukt Kosinusformel



Einsatz des  Skalarproduktes in der Schule 
das Skalarprodukt kommt in der Schule in Vektorrechnung in Mathematik hauptsächlich bei der Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren oder Schnittwinkeln von Geraden mit Geraden oder Ebenen vor. Eine Vokabel, die man unbedingt auswendig lernen sollte ist dabei: senkrecht bedeutet, das Skalarprodukt ist Null.

Orthogonalität von Vektoren, alles senkrecht oder wie?

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null, so stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Die Orthogonalität von Vektoren ist an verschiedenen Stellen wichtig, z.B. bei der Berechnung eines Normalenvektors, den man auch mit Hilfe des Skalarproduktes finden kann. Leichter geht das natürlich mit dem Kreuzprodukt.
In der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren findet sich das Skalarprodukt ja im Zähler eines Bruches. Kommt bei der Berechnung dieses Skalarproduktes Null heraus, dann ist der Wert des ganzen Bruchs gleich Null. Und dann steht da cos alpha gleich Null. Und der zugehörige Winkel ist 90°, also sind die Vektoren senkrecht

Aus dem Video Winkel mit Vektoren 


In diesem Video geht es um Winkel zwischen Vektoren. Genauer gesagt um Winkel in geometrischen Figuren, die im dreidimensionalen Raum mit Vektoren beschrieben werden. Dazu sind drei Punkte A, B und C gegeben. Die beispielhafte Frage lautet: wie groß ist der Winkel Beta, dieser wird auch als der Winkel ABC genannt. Der Buchstabe B liegt in dieser Bezeichnung in der Mitte und bezeichnet damit den Punkt, bei dem der Winkel liegt. Dazu muss man sich auch noch merken, dass für die Berechnung des Winkels die Vektoren in diesem Beispiel von den Punkt B Weg zeigen müssen. Wollen wir diesen Winkel jetzt berechnen, zu müssen wir als erstes die Vektoren BA und BC berechnen. Wie man einen solchen Vektor berechnet, zeige ich dir auf der Seite Verbindungsvektor. 

Wenn wir das ausgerechnet haben, setzen wir diese beiden Vektoren schon einmal in die Kosinusformel ein, in der das Skalarprodukt einen wichtigen Part spielt. Diese Kosinusformel ist die zentrale Anwendung für das Skalarprodukt in Mathematik in der Oberstufe der Schule.

Weitere Formeln zum Skalarprodukt

Skalarprodukt Schnittwinkel Formeln


Aufgaben Beispiele zum Skalarprodukt

Finden Sie einen Vektor, der senkrecht zu Vektor a (1/2/3) steht.

Oft sehe ich verblüfftes Kopfschütteln in der Nachhilfe, wenn solche Aufgaben gelöst werden sollen, denn die meisten Schüler können nicht glauben, dass man sich hier einen Vektor ausdenken soll, bei dem nach Anwendung des Skalarproduktes eine Null heraus kommen soll. Aber es ist wirklich so. Hier denkt man sich vollkommen willkürlich zwei Zahlen für die x-Koordinate und die y-Koordinate aus und setzt dann in die Formel des Skalarproduktes ein, wobei die z-Koordinate als z im Skalarprodukt stehen bleibt. Also zum Beispiel:
Vektor b (2/3/z)

Jetzt berechnen wir das Skalarprodukt und setzen die Bedingung dafür ein, dass die Vektoren senkrecht zueinander stehen, nämlich, dass der Wert des Skalarproduktes gleich Null sein soll:
1*2+2*3+3*z=0

Lösen diese Gleichung auf und erhalten für z=8/3
Diese Technik wird auch angewendet, wenn man eine Ebene in Normalenform in eine Parameterform umwandeln soll.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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