Hier gehts zu den besten Videos zu dem Thema Stammfunktion


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Stammfunktion und Stammfunktionen

Du schreibst bald eine Klausur zum Thema Stammfunktionen und bestimmte Integrale? Dein Abitur steht vor der Tür und Du willst Dich noch mal fit machen für die Rechnungen zum Thema Stammfunktionen? Dann bist Du hier richtig. Auf dieser Seite findest Du Videos zu diesen Themen rund um das unbestimmtes Integral:

  • Anfangswertproblem Stammfunktionen
  • Kreisintegral
  • Bruch
  • ganzrationale Funktion
  • e-Funktion
  • Sinus Cosinus
  • Wurzelfunktion
  • Funktionsscharen integrieren

Was sind Stammfunktionen und wofür brauche ich sie?

Stammfunktionen sind Funktionen, mit denen man den Flächeninhalt unter Graphen von Funktionen bestimmen kann. Man erhält sie durch Integrieren von f(x).

Stammfunktionen Mathematik

Stammfunktionen sind eine Lösung für unbestimmte Integrale. Man kann mit Hilfe dieser Funktionen Flächen unter Kurven von Funktionen berechnen. Dazu braucht man den Hauptsatz der Integralrechnung A=F(b)-F(a). Die Ableitung von F(x) ist die Randfunktion (weil sie den Rand der Fläche beschreibt) f(x). Integrieren und Ableiten sind also Gegensätze.

Zusammenhänge Ableitungsfunktion und Stammfunktionen Mathematik: Es gibt immer viele Funktionen, die eine Stammfunktion von f(x) sein können. Weil beim Ableiten Konstanten wegfallen, wird am Ende von Stammfunktionen immer eine Konstante angehängt:

Regeln zum Integrieren

Es gibt einige Integrationsregeln, darunter fallen

Die Potenzregel Unbestimmte Integrale Regel 2 Mathematik

die Summenregel Stammfunktionen Mathematik Summenregel

die Faktorregel Integration Regel 1 Mathematik

Produktregel nennt man auch partielle Integration oder Produktintegration

Integration durch Substitution oder Substitutionsregel und hier noch mal speziell die Lineare Kettenregel oder lineare Substitution. Integrieren ist ein Kerngebiet der Analysis in der Mathematik der gymnasialen Oberstufe und damit für Dein Abitur.

Das Anfangswertproblem und die Stammfunktionen

Welche Stammfunktion von f(x) verläuft durch einen bestimmten Punkt? Denn jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, also Funktionen, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ergeben.

Diese Fragestellung wird oftmals auch Anfangswertproblem genannt. In vorliegendem Beispiel wird der Punkt P (1|-5) definiert und f erhält den Wert 5x. Die Menge aller Stammfunktionen F(x) wird durch die Formel 5/2x² + C berechnet. Der Punkt enthält immer eine x-Koordinate und eine y-Koordinate, wobei die x-Koordinate für x eingesetzt wird und die y-Koordinate den Wert F(x) wiederspiegelt.

Daraus ergibt sich die Berechnung –5 = 5/2 * 1² + C, die sich in –5 = 2,5 + C umstellen lässt. Wird der Wert von 2,5 nun subtrahiert, erhält man für C das Ergebnis von –7,5. Somit ergibt sich: F(x) = 5/2x² - 7,5, die Kriterien der Aufgabenstellung erfüllt oder durch den Punkt P (1|–5) verläuft. Die Berechnung kann selbstverständlich mit etwaigen anderen Werten durchgeführt werden. Als nächstes Beispiel wird für P der Wert von 10/-5 festgelegt.

Durchläuft man für die Berechnung des Ergebnisses die selbe Formel, ergibt sich für C der Betrag von –255. Auch in diesem Fall muss ein entsprechender Antwortsatz zur Fragestellung erfolgen. Also die bestimmte Stammfunktion von F(x) = 5/2x² - 255 verläuft durch den Punkt 10 und –5.Und hier eine kleine Spezialaufgabe zum Anfangswertproblem.

Grundlagen Stammfunktionen Wurzelfunktion

Die Stammfunktion einer Wurzel oder auch das unbestimmte Integral zu bestimmen hat in jedem Fall etwas mit dem Auswendiglernen einer Vokabel aus der Mittelstufe zu tun. Damals ging es um Wurzelgesetze und um Potenzgesetze, erinnerst du dich?

Bild Wurzel X gleich X hoch ein halb

das ist die Grundlage für die Bestimmung der Stammfunktion einer Wurzel und jetzt noch einen Zacken schärfer:

Bild 27. Wurzel aus X hoch 15 = X hoch 15 27.

Hinweis für die Nachhilfe
das bedeutet, dass wir jede Wurzel auch als Potenz schreiben können und das wiederum führt dazu, dass immer wenn du eine Wurzel integrieren sollst, was er nichts anderes bedeutet als das zu die Stammfunktion einer Wurzelfunktion bestimmen sollst, du diese in eine Potenz umschreiben solltest.

Regeln zur Berechnung des unbestimmten Integrals einer Wurzel

logischerweise gelten auch beim integrieren von Wurzelfunktionen die grundlegenden Regeln zur Berechnung einer Stammfunktion. Dazu hier ein kleiner Überblick:

  • in Summen wird jeder Summand einzeln integriert.
  • Steht eine Zahl als Faktor vor einer Wurzelfunktion, so bleibt dieser Faktor auch in der Stammfunktion der Wurzel enthalten.
  • Steht unter der Wurzel eine lineare Funktion, so kannst du nach dem umwandeln in eine Potenz lineare Kettenregel anwenden.

Wurzel mit Substitution: Auf dieser Seite findest du einige Videos, in denen gezeigt wird, wie und wann (also bei welchem Muster) das Substitutionsverfahren angewendet wird.
Wurzel mit partieller Integration: Nicht immer, wenn zwei Funktionen mit X durch ein Malzeichen verbunden sind, muss man die Produktintegration anwenden. Hier kann man sehr oft umformen um dann einen einfacheren Weg zur Stammfunktion der Wurzelfunktion beschreiten zu können.
Ganzrationale Funktionen in einer ersten Aufnahme und das Schema dazu. Die Stammfunktionsbestimmung wird auch gern als die Bestimmung des unbestimmten Integrals benannt.

Integrale ganzrationaler Funktionen

Das Bilden von Integralen dient der Ermittlung der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse des Koordinatensystems. Dabei ist in festgelegter Reihenfolge vorzugehen.

Bilden des Integrals
Als ersten Schritt zum Lösen einer Aufgabe wird das Integral gebildet. Dazu wird das Integralsymbol verwendet, hinter das die zu integrierende Funktion in Klammern gesetzt und abschließend "dx" verwendet wird. Letzteres verdeutlicht, dass das Integral nach der Variablen "x" aufgeleitet werden soll.

Aufleitung
Um nun aus f(x) den Flächeninhalt berechnen zu können, muss diese zunächst aufgeleitet werden. Bei ganzrationalen Stammfunktionen findet man mehrere Variablen "x" mit unterschiedlichen Exponenten. Die Anzahl der "x" wird in die Aufleitung übernommen und der Exponent jeweils um eins erhöht. Bei fixen Zahlen ohne die Variable "x" hat diese Variable in der Stammfunktion den Exponenten null. Die Aufleitung wäre entsprechend hoch eins, aber da man in der Mathematik den Exponenten eins weglässt, bleibt "x".
Nun zu den fixen Zahlen vor den Variablen. Die Zahlen in der Stammfunktion werden für die Aufleitung durch den neu gebildeten Exponenten dividiert. Hinzu kommt am Ende der Stammfunktion eine Variable "C". Diese gibt eine beliebige Zahl an, die bei der Ableitung auf die Stammfunktion wegfallen würde. Um die Aufleitung also korrekt zu bilden, ist diese beliebige Zahl "C" notwendig.

Zur Kontrolle
Es gibt einen einfachen Trick, um kontrollieren zu können, ob die Aufleitung richtig gebildet wurde. Leitet man die Aufleitung wieder ab, muss das Ergebnis die Stammfunktion sein.

Stammfunktion e-Funktion

Stammfunktionen der e-Funktion und ein wenig abgewandelter e-Funktionen kommmen immer wieder in Aufgaben gerade auch im Abitur vor.

Im ersten Video geht es um die Basisübungen, es wird jeweils F(x) gebildet (integriert) von

f(x)=e^x
f(x)=e^−x
f(x)=−e^−x
f(x)=−e^x
f(x)=e^(x+2)
f(x)=e^(2x+4)
f(x)=13e^(1/2x+2)

Die Stammfunktion einer parametrisierten E-Funktion ist gesucht und die Lösung wird in zwei Videos auf unterschiedlichen Wegen gezeigt und was deutlich werden dürfte ist, dass man nicht unbedingt auf einen Weg festgelegt ist, dass aber durchaus mal einer der Wege sehr viel weniger Zeit kosten kann.

Das unbestimmte Integral der Exponentialfunktion

f(x)=(a−0,5x)×e^(2−xa) soll bestimmt werden . Mit Probe! Eine Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung im Bereich der Exponentialfunktionsscharen von Herrn Brinkmann in 8 Teilen.

Partielle Integration oder Produktintegration einer e-Funktion. Integration durch Substitution auf mehreren Wegen am Beispiel von e-Funktionen

Mit partieller Integration zur Stammfunktion von
e^x*sin(x) Mit Trick zum Merken!
Kombination von Produktintegration und Substitution mit Exponentialfunktion
Und hier noch mal ein paar Hinweise, was man sich alles zur Stammfunktion bei e-Funktionen merken kann:
Stammfunktion e-Funktion
Weiterführende Fragen und Aufgaben:
Allgemeine Fragen zur Stammfunktion von e-Funktionen
mit partieller Integration / Produktintegration
mit Substitution und linearer Kettenregel
Allgemeine Fragen zum unbestimmten Integral von e-Funktionen
Aufgabe:
f(t)=2eateat+29
Lösung:
F(t)=2ln(29+eat)a+C
Aufgabe:
e−12x2
Antwort: Das ist ja das "gaußsche Fehlerintegral"... da gibt es keine elementare Stammfunktion zu...
Als erstes möchte ich mich rechtherzlich bei dir bedanken für deine große Mühe und Aufwand. Nun zu meiner Frage. Kann man das C bei einer Stammfunktion weglassen, ist die Stammfunktion dann falsch. Denn ich habe gestern 'ne Mathe Klassenarbeit geschrieben und habe bei den Aufgaben vergessen ein C dahinter zu schreiben.
Antwort:
das wird leider Punktabzüge geben... ich vergess das auch manchmal, weil es bei der Berechnung von bestimmten Integralen auch keinen Unterschied macht - aber... da sind die meisten Klausurbewerter unbarmherzig... ;(
Irgendwie habe ich das alles ganz anders gelernt. Hoffe ich verwechsel da nichts? Denn zum Beispiel würde x² zu 1/3x^3? Deine Rechnung zu x² ist absolut richtig - aber verschiedene Funktionstypen und Funktionsstrukturen verlangen unterschiedliche Maßnahmen ... :)
Schau mal hier rein - Das scheint näher an Deinem Thema dran zu sein.  r(t)=23−0.02×e^t Lösung ist R(t)=23t−0,02et+C
mit partieller Integration / Produktintegration
Für einige der Funktionen, die im Folgenden zur Übung bereit stehen, brauchst Du die lineare Kettenregel - immer dann, wenn im Exponenten der e-Funktion eine lineare Funktion steht. Also ich hänge jetzt an dem Begriff 'Faktorregel'. und zwar habe ich die Funktion: f(x)=(x2−3x+4)e^x Jetzt bin ich am überlegen ob F(x)=(13−32x2+4x)e^x ist oder was anderes. Ein Online-Stammfunktionrechner sagte mir das es: F(x)=e^x(9+(−5+x)x) wäre, was ich aber überhaupt nicht nachvollziehen kann. Bei f(x)=3e^x bleibt die 3 als Faktor vor dem e^x erhalten und wir müssen uns dann nur noch auf e^x stürzen. Deine Aufgabe benötigt hingegen die Produktintegration oder die partielle Integration - Links dazu findest Du oben unter dem Video.
Aufgaben
f(x)=(3x−2)e^(2x+2)
f(x)=(x^2−2)e^0.5x)
f(x)=xe^x
f(x)=(x−2)e^x
f(x)=−4xe^x
f(x)=−4e^x(x−1)+c
a(t)=4te^(−0.2t)+10
Lösung: F(t)=e^(−0,2t)(−20t−100)+10t+c Antwort: oben in den Links zur partiellen Integration sind hilfreiche Videos zur Bewältigung und Lösung der Aufgabe enthalten.
Aufgabe: Wie bilde ich die Stammfunktionen der folgenden e-funktionen. f(x)=(2x+1)e^(1+x) und 2xe^(1+x) Antwort: Mit partieller Integration, wie oben in den Links. Es kann aber auch sein, dass ihr das mit Koeffizientenvergleich gemacht habt. In jedem Falle sind die Ergebnisse zur Kontrolle: f(x)=(2x+1)e^(1+x); F(x)=e^(1+x)(2x−1) und f(x)=2xe^(1+x); F(x)=2(e1+x(x−1))
mit Substitution und linearer Kettenregel
Aufgaben, die mit der linearen Kettenregel gelöst werden können:
Aufgabe: f(x)=2e^(1−x) Lösung: F(x)=−2e^(1−x)
Aufgabe f(x)=2^x Hinweis: erst umwandeln: e^(ln(2)x)
Aufgaben:
f(x)=4^x
f(x)=4*2^x
f(x)=2^(x−2)
f(x)=5e^(3x+7)
Aufgabe: f(x)=2e^(−4x−2) Lösung: F(x)=−12e^(−4x−2)+C
Aufgabe: f(x)=0,001e^(4,61x)^2 Ansatz: da kannst Du einmal mit den Potenzgesetzen das Quadrat in die Potenz mit einrechnen Lösung: F(x)=0,000001e^(9,22x)+C

Substitutionsaufgaben:
f(x)=(4−e^x)e^x ich würde vorschlagen, auszumultiplizieren: (4−e^x)e^x=4e^x−e^2x und dann substituieren und integrieren
Aufgabe: f(x)=ke^(−kx) Lösung: F(x)=−e−kx+C
Aufgabe: f(x)=x^3e^(−0,5x^2) Ergebnis: F(x)=e^(−0,5x^2)(−x^2−2)+C
Man kann das auch mit Koeffizientenvergleich machen.
Zeige, dass gegebene Funktion eine Stammfunktion ist
Könntest du mir bitte hierbei helfen: e^x(1+e^x)^2 Davon brauche ich die Stammfunktion, bzw soll ich zeigen, dass −1e^(x+1) eine Stammfunktion ist. Antwort: Mir scheint, dass die zweite Variante gefordert ist, also zu zeigen, dass die gegebene Stammfunktion auch wirklich eine ist. Dazu musst Du zeigen, dass F'(x)=f(x) ist - also musst Du F(x) ableiten. −1e^(x+1) ist umgeschrieben:−e^(−x−1
Und dazu geb ich Dir erst mal den Link zur Kettenregel mit e-Funktion ableiten. Du möchtest wissen, wie man eine Funktionsschar integriert? Dann bist du hier genau richtig. Schau dir einfach alle Videos ganz locker an und danach hast du verstanden, wie man eine Kurvenschar aufleitet.

Integrationsregeln und das Integrieren von Funktionsscharen

Alle Regeln zum bilden von Stammfunktionen funktionieren, ob in deiner Funktion ein Scharparameter drin ist oder nicht. Grundsätzlich kannst du den Parameter so behandeln als stünde an dieser Stelle eine Zahl.

Scharparameter, die zu einer Funktion addiert werden

gegeben ist die Funktionsschar fa(x)=x²+a. Hier greift die Summenregel und die Konstantenregel. F(x)=1/3 x³+ax +C

Parameter, die als Faktor vor einer Funktion stehen und so eine Funktionsschar daraus machen

Nehmen wir wieder ein konkretes Beispiel: fb(x)=bx². Und jetzt tun wir zunächst einmal so, als würde f(x) in Wirklichkeit lauten f(x)=5x².
Jetzt integrieren wir und schauen dann, was mit der 5 passiert, denn dann wissen wir auch, was mit dem b passieren muss:
F(x)=5/3x³+C
der Exponent des x mit der zunächst nach der Potenzregel um eins erhöht und danach teilt man den Koeffizienten, also den Vorfaktor durch den neu entstandenen Exponenten. Und dieser Satz gilt, ob der nun eine 5 oder ein b als Parameter, als Faktor vor der Funktion stehen. Also gilt für unsere Funktionsschar:
F(x)=a/3x³+C
Merksatz: Behandle einen Scharparameter in einer Funktionsschar, die Du integrieren willst, stets so, als ob er eine Zahl wäre.

Du kommst beim Thema Stammfunktionen von einem Bruch nicht weiter?

Dann ist ein guter Tipp, sich klarzumachen, dass ein Bruch der so aussieht wie
Bild eins durch X Quadrat
umgeschrieben werden kann als eine Potenz mit einem negativen Exponenten
Bild Einstichsquadrat gleich X hoch -2
danach lässt sich auf solch einen Bruch die Potenzregel anwenden. Wir erhöhen also den Exponenten um 1 und teilen dann den Koeffizienten durch den neu entstandenen Exponenten also  1/-1=-1
am Ende jedes unbestimmten integral und jeder Stammfunktion muss natürlich noch das obligatorische +C hinten an die Stammfunktionen angefügt werden.
Der letzte Schritt, den man als optional ansehen kann, ist dann, dass man die Potenz mit dem negativen Exponenten wieder zu einem Bruch macht und so tatsächlich dann auch die Stammfunktionen als Bruch stehen hat.
In unserem Fall ist das Ergebnis dann also das zweite Beispiel modifiziert das erste so, dass im Zähler des Bruches keine eins, sondern eine zwei steht. Grundsätzlich läuft die Bildung der Stammfunktion mit dem Bruch genauso wie im ersten Beispiel:
erster Schritt umschreiben von f(x), so dass der Bruch zu einer Potenz mit negativen Exponenten umgeschrieben wird.
Zweiter Schritt Bildung der Stammfunktion, in diesem Fall kann man sich einmal die Summenregel, einmal die Potenzregel und einmal die Regel zur Bildung des unbestimmten Integrals einer Exponentialfunktion in diesem Video anschauen.
Dritter Schritt: die Potenzen mit negativen Exponenten werden wieder in die Schreibweise mit Brüchen, in diesem Fall die Stammfunktion als Bruch zurück umgewandelt.
Stammfunktion Bruch mit linearer Ketten Regel
Bei Stammfunktionen mit Brüchen, in denen im Zähler eine Zahl und im Nenner eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion steht, brauchen wir die lineare Kettenregel der Integralrechnung.
Gegeben ist die Randfunktion: f(x)=1/(4x+7)³ und diese soll jetzt integriert werden. Es steht also im Nenner jetzt nicht mehr nur eine Potenz von X sondern eine verkettete Funktion, bei der die innere Funktion eine lineare Funktion ist.
Auch sollte Funktionen kann man umschreiben, bzw. umwandeln. Dazu noch ein paar Worte, wie man eine solche unwandelbare Struktur oder ein solches Muster erkennen kann. Im Zähler steht nur eine Zahl. Und im Nenner steht eigentliche auch nur eine Potenz nämlich die Klammern hoch den Exponenten. Dieses Muster sollte man sich unbedingt merken, dann machen solche Funktionen bei der Findung der Stammfunktion von einem Bruch keine Schwierigkeiten.
Das Ergebnis nach der Umwandlung: (4x+7)^-3
und auf diese Funktion können wir jetzt die lineare Kettenregel der Integralrechnung anwenden:
als erstes erhöhen wir den Exponenten um eins und lassen die lineare Funktion in den Klammern unangetastet und danach teilen wir das ganze durch die Ableitung der inneren Funktion. Natürlich kann man auch mit dem Kehrwert der Ableitung der inneren Funktion arbeiten, dann muss man den Term allerdings damit multiplizieren.
Stammfunktion mit Brüchen, die man auf obere Beispiele bringen kann
Auch hier kann man von einem Bruch ausgehen. Allerdings ist dieser jetzt schon ein ganzes Stück komplizierter. Betrachten wir uns mal die Ausgangsfunktion, die ja auch Randfunktion oder Integrandenfunktion heißt:
Bild: (5x-4)/(3x+7)
auch hier ein Wort zur Struktur der Funktion. Wir sehen einen Bruch in dessen Zähler eine lineare Funktion und in dessen Nenner eine lineare Funktion steht. Man kann auch sagen, dass der Zählergrad und der Nennergrad dieser Funktionen gleich ist. Führt man eine Polynomdivision Zähler durch Nenner durch, so ist das Ergebnis: 5/3 + 15,67/(3x+7)
und jetzt ähnelt dieses Beispiel plötzlich dem von gerade eben.
Verändern wir das Beispiel ein bisschen und erhöhen den Zählergrad, zum Beispiel auf Funktion (5x²+3x)/(3x+7). Auch hier ist es möglich, durch durchführen einer Polynomdivision die Funktion in ihrem Erscheinungsbild so zu verändern, dass das oben gelernte angewendet werden kann.
Wichtig ist hier nochmal zu betonen, dass das immer nur dann funktioniert, wenn im Nenner eine lineare Funktion steht.
Weitere Beispiele:

  • unbestimmtes Integral von einem Bruch mit Polynom im Zähler und Monom im Nenner

Weiterführende Muster:

  • Partialbruchzerlegung und Stammfunktion von Brüchen
  • Das unbestimmte Intaegral von gebrochen rationalen Funktionen
  • Stammfunktion Brüche mit quadratischen Funktionen im Nenner (Grundintegrale, arctan)

Das unbestimmte Integral von Sinusfunktion Kosinus Funktion, wenn sie nicht verknüpft sind, lassen sich immer im Kreis integrieren. Dieser Satz muss erklärt werden. Wird er auch. In den folgenden Videos:

Stammfunktion von Sinus und Kosinus

die Grundlage zur Bestimmung der Stammfunktion von Sinus und Kosinus sind vier Vokabeln, ohne die man wirklich aufgeschmissen ist.

  • F(x) von Sinus ist minus Kosinus.
  • Die Stammfunktion von minus Kosinus ist minus Sinus
  • F(x) von minus Sinus ist plus Kosinus
  • die Stammfunktion von Kosinus ist Sinus.

Wenn man erstmal das mit dem Integrationskreislauf raus hat, kann man die grundlegenden Funktionen modifizieren. Dabei findet man dann heraus, dass Faktorregel, lineare Kettenregel und Summenregel auch bei den trigonometrischen Funktionen und auch bei der Stammfunktion von Sinus und Kosinus gelten und angewendet werden können.

Wenn du die Stammfunktion einer Sinusfunktion oder einer Kosinusfunktion bestimmen sollst, dann lass auf jeden Fall als erstes mal den Faktor vorne stehen, dann wende die Vokabel zur Stammfunktion von Sinus und Kosinus an. Befindet sich eine lineare Funktion im Argument der trigonometrischen Funktion, dann teile jetzt den Faktor durch die Ableitung dieser inneren Funktion. Als letztes wende dich dem zu, was per Strichrechnung an der trigonometrischen Funktion dranhängt.

Sinus und Kosinus und die partielle Integration

Steht vor einer Sinusfunktion oder Kosinusfunktion noch eine Funktion, die ein X enthält und sind diese beiden Funktionen mit einem Malzeichen verknüpft, dann brauchst du die Produktintegration. Dazu findest du in dieser Seite mehr als ein Video und einen Link zur Seite, die sich komplett mit partieller Integration beschäftigt.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



Die besten Videos in Stammfunktion:


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