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Steigungswinkel von Funktionen

Steigungswinkel lineare Funktion

Wenn wir den Steigungswinkel einer linearen Funktion berechnen wollen, dann brauchen wir dazu die Vokabel:

Beispiel für die Berechnung des Steigungswinkel

nehmen wir die lineare Funktion f(x)=3x+2, dann berechnet sich der Steigungswinkel wie folgt:

Alpha=tan^-1(3)

Wie kommen wir aber darauf, dass gerade der Tangenten des Winkels, den die lineare Funktion mit der x-Achse einschließt gleich dem Parameter des Steigungskoeffizienten, der Steigung der linearen Funktion gleicht? Dazu brauchen wir wissen aus der Geometrie der Mittelstufe in der Schule.

Steigungswinkel und Geometrie

der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist ja definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.

Wenn wir uns jetzt noch daran erinnern, dass m so berechnete:

m=(y2-y1)/(x2-x1)

und das der Ausdruck, der dabei oberhalb des Bruch Striches steht eben gerade die Gegenkathete des Steigungswinkels in dem Dreieck ist, indem die x-Achse und die lineare Funktion gerade den Steigungswinkel einschließen, dann kann man jetzt schön zusammensetzen, warum die Vokabel gilt.

Steigungswinkel ganzrationale Funktion

Das was weiter oben steht, dient in der Oberstufe in Mathematik tatsächlich er als Vokabel, denn, wenn man den Steigungswinkel einer ganzrationalen Funktion berechnen will, braucht man noch einen Schritt mehr.

Und dieser Schritt ist, dass die Steigung einer nicht linearen Funktion an jeder Stelle im Funktionsgraphen eine andere ist oder sein kann.

Und diese Steigung ist gerade der Wert der Ableitung für diesen X Wert.

Um also den Steigungswinkel in einem bestimmten Punkt des Grafen einer ganzrationalen Funktion zu bestimmen muss man folgendes tun:

  • Ableitung berechnen
  • X Wert in Ableitung einsetzen, dieses Ergebnis dann
  • in die Vokabel tan(alpha)=m für das m einsetzen und dann umformen.

Steigungswinkel und Schnittwinkel

Der Schnittwinkel hat einen eigenen Beitrag hierbei OberPrima, aber weil es einen Zusammenhang zwischen Steigungswinkel und Schnittwinkel gibt, kannst du auch hier schon ein bisschen was dazu lesen und lernen.

Nehmen wir zwei lineare Funktionen, die sich schneiden.

Wir können von beiden den Steigungswinkel berechnen.

Nehmen wir an, für die eine Funktion gelte ein Steigungswinkel von 36° und für die zweite Funktion einer von 65°.

Der Winkel zwischen den beiden Funktionen berechnet sich jetzt als:

65°-32°=33°

Ein zweites Beispiel dazu:

Steigungswinkel der ersten Funktion: 35°

Steigungswinkel der zweiten Funktion: -40°

Schnittwinkel der beiden Funktionen: 35°-(-40°)=75°

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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