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Symmetrie von Funktionen

Wie überprüft man bei einer Funktion die Symmetrie? Wie weise ich die Symmetrie einer Funktion rechnerisch nach? Und wie kann ich die Symmetrie einer ganz rationalen Funktion zum Beispiel ganz schnell erkennen? All diese Fragen beantworten dir die Videos in dieser Abteilung von OberPrima.com!

Die Symmetrie wird bei Kurvenuntersuchungen von Funktionen immer überprüft und dabei besonders auf Achsensymmetrie und

Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht. Dazu findest Du hier die Basisvideos und dazu noch die Prüfung der erweiterten Punktsymmetrie zu einem anderen als dem Ursprung und ganz unten auch noch die erweiterte Punktsymmetrie bei einer Kurvenschar bzw. Funktionsschar.

Das Symmetrieverhalten von ganzrationalen Funktionen

eine ganzrationale Funktion wird grundsätzlich im Bereich der Kurvendiskussion erst einmal auf die Standardsymmetrien überprüft.

Eine Funktion kann entweder symmetrisch zur y-Achse sein oder symmetrisch zum Ursprung.

Darüber hinaus kann auch eine Symmetrie zu einer anderen als der y-Achse vorliegen. Die y-Achse hat die Gleichung x=0, und so kann eine Funktion natürlich auch symmetrisch zu x=3 sein.

Ebenso kann eine Funktion, auch Punktsymmetrisch zu einem anderen Punkt als dem Ursprung (0|0) sein.

Darüber hinaus gibt es natürlich auch Funktionen, die weder das eine, noch das andere Symmetrieverhalten aufweisen.

Achsensymmetrie

Aus dem ersten Video:

Hier geht es um Symmetrie, genauer gesagt um Achsen- und Punktsymmetrie. Kommen wir erst einmal zur Achsensymmetrie und nehmen die Funktion f(x) = x^4 + 6 x² + 3. Jetzt gibt es die Möglichkeit diese Funktion mit oder ohne Rechnung anzugehen, wobei es natürlich bei einer Klassenarbeit oder Klausur nutzlos ist, ohne Rechnung vorzugehen.

Wenn wir uns mit der Symmetrie zu Punkten oder zu Achsen befassen, gucken wir uns die Funktion an und merken in diesem Fall, dass 4 und 2 gerade Exponenten sind und mit der 3 noch eine Zahl folgt. Sie ist also achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur gerade Exponenten heißt: Achsensymmetrie zur y-Achse - es kann auch noch eine Zahl am Ende stehen.

Um die Symmetrie bei einer Kurvendiskussion rechnerisch zu zeigen, benutzen wir die Vokabel Achsensymmetrie (AS) und schreiben dann AS f(x) = f (-x).

Graphisch sieht das dann so aus, dass das f (-x) (gezeigt wird der Funktionswert an der Stelle x=-3 also f (-3), denselben Wert aufweist wie der FUnktionswert an der Stelle x=3 also f(3).

Diesen Vorgang kann man folgendermaßen zur Ermittlung der Achsensymmetrie benutzen: Auf der einen Seite der Gleichung steht x^4 + 6 x² + 3 und auf der anderen Seite das Gleiche, allerdings mit jeweils negativen Vorzeichen.

Diese Gleichung wird dann ganz einfach ausgerechnet, wobei es zur korrekten Ermittlung der Symmetrie ganz wichtig ist, auf die richtigen Vorzeichen zu achten.
In unserem Fall kommt man zu dem Ergebnis, dass die rechte Seite der Gleichung der linken entspricht, das heißt also, es liegt Achsensymmetrie vor, da f(x) = f(-x) ist.
Dieser Vorgang kann bei jeder Funktion durchgeführt werden, die nur gerade Exponenten und eine Zahl hat.

Über die Symmetrie zum Ursprung informiert das nächste Video.

Punktsymmetrie

Punktsymmetrie Basis Video

wir haben folgende Funktion gegeben f(x)=x^3+x

wenn man sich das als erstes mal anguckt, dann kann man erkennen das nur ungerade Exponenten vorhanden sind. Besonders wichtig war mir dabei, dass ein x ohne Exponent in der Funktion mit dabei ist, denn an dieser Stelle greift eine Vokabel, nämlich das x=x^1, sprich X hoch eins ist.

Jetzt können wir ohne Rechnung sofort sagen, die Funktion enthält nur ungerade Exponenten, deshalb ist sie punktsymmetrisch.

Wenn wir es berechnen wollen, müssen wir sagen:

f(x)=-f(-x)

oder mancher kennt das vielleicht auch in dieser Schreibweise:

-f(x)=f(-x)

man kann sich das grafisch auch so vorstellen, dass eine Funktion durch die beiden Punkte A(3|2) und A'(-3|-2) verläuft. Punkt A ist dabei am Ursprung in den Punkt A' gespiegelt.

Im Video zur Punktsymmetrie wird das ganze jetzt ganz genau gezeigt.

Der besondere Knackpunkt bei der Punktsymmetrie ist, wie bei den anderen Symmetrien auch, dass man die Anweisungen wie -f(-x) richtig umsetzt.

Ist f(x)=x^3+3x, dann ist f(-x)=(-x)^3+3*(-x) und -f(-x)=-((-x)^3+3*(-x))

immer schön auf die Klammern achten, sage ich dir!

Jetzt geht's ins Detail zur Punktsymmetrie: im Term (-x)^3 steckt die Anweisung zur Rechnung: (-x)*(-x)*(-x) und wenn man das ausrechnet, dann kommt heraus: -x^3

rechnet man jetzt also den Funktionsterm: f(-x)=(-x)^3+3*(-x) komplett aus, kommt man auf folgendes Ergebnis: f(-x)=-x^3-3x

setzt man jetzt noch das minus vor dem gesamten Term der Funktion, so erhält man: -f(-x)= -(-x^3-3x)

und auch hier kann man auf der rechten Seite ja die Klammer noch wieder auflösen. Ergebnis ist, dass derselbe Term herausgekommen ist, wie in der ursprünglichen Funktionsgleichung gegeben. Und immer wenn das bei der Rechnung herauskommt, so können wir sagen, dass die Funktion Punktsymmetrisch ist.


Keine Symmetrie Basis Video

wenn eine ganzrationale Funktion gerade und ungerade Exponenten aufweist, also gemischte Exponenten, dann ist sie weder symmetrisch zur y-Achse, noch Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Selbiges gilt auch, wenn nur ungerade Exponenten und eine Zahl ohne X in der Funktion vorhanden sind.

Um rechnerisch nachweisen zu können, dass eine solche Funktion weder Achsen symmetrisch noch Punktsymmetrisch ist müssen wir beide Standardsymmetrien nachzuweisen versuchen. Bei Berechnungen führen auf das Ergebnis, dass die jeweilige Symmetrie nicht vorhanden ist. Und daraus schlussfolgert man dann, dass die Funktion keine Symmetrie aufweist.

Man kann also sagen, dass keine Symmetrie ein Abfallprodukt der Prüfungen der anderen beiden Symmetrien ist.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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