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Was ist eine Tangente

Eine Tangente ist eine lineare Funktion, die den Graphen einer Funktion an einem bestimmten x-Wert berührt. Das bedeutet so viel wie: Die Tangente muss den gleichen y-Wert für diesen x-Wert haben wie die Funktion f(x) und sie muss die gleiche Steigung haben. In diesem ersten Video wird die Tangente über diese beiden Eigenschaften hergestellt und die Normale wird "über die Tangente" ermittelt. Im zweiten Video leite ich dann eine Formel her, mit der man sehr viel schneller auf die Funktionsgleichung der Tangente kommt.

Tangente berührt Kurve weil Ableitung und Steigung der Tangentengleichung gleich sind

Die Tangente berührt die Kurve, weil beide mit der selben Steigung durch den Berührpunkt verlaufen. Bei Steigung einer Funktion bitte immer sofort an Wert der Ableitung für den x-Wert des Punktes denken.

Das drückt man dann in der Mathematik so aus:

Tangentengleichung gleich Funktionsgleichung Steigungen auch gleich

Die erste Gleichung bedeutet, dass für den x-Wert des Punktes sowohl die Funktion als auch die Tangente denselben y-Wert haben (müssen).

Und die zweite Gleichung sagt nichts anderes, als dass die Ableitung für diesen x-Wert auch gleich der Ableitung der Tangente sein muss, damit die Kurve berührt wird (und nicht geschnitten).

Inhaltsverzeichnis Tangente

  • Häufig benötigte Tangenten
  • Tangente an verschiedene Funktionen
  • Tangente von Punkten
  • Tangenten an Kreise
  • Tangente in Bezug zu Rekonstruktion
  • Spezielle Fragestellungen
  • Integral

Aus dem ersten Video zur Tangente

Wie konstruieren wir die Gleichung einer Tangente, die den Graphen der Funktion f(x) = x² im Punkt P(2|4) berühren soll?

Eine Tangente ist eine lineare Funktion und wird dargestellt durch die Form t(x) = m*x + n. Sie berührt die Kurve von f(x) im Punkt P(2|4). Berühren heißt, dass sowohl die Tangente t(x) als auch die Funktion f(x) in diesem Punkt dieselbe Steigung haben müssen. Und dieselbe Steigung heißt, dass die Ableitung von f und die Ableitung von t für den x-Wert gleich sein müssen.

Tangentengleichung Bedingung Ableitung der Funktion muss gleich der Steigung der Tangente sein


In diesem Beispiel ist der Punkt bekannt und liegt auf dem Funktionsgraphen, aber der Punkt muss nicht zwangsläufig auf der Kurve liegen, dazu weiter unten ausführliche Videos.
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

Gleichung 1: Aus f(x0) = t(x0) folgt x² = m*x + n
Gleichung 2: Aus f'(x0) = m daraus folgt m = 2x
Wie gelangen wir, ausgehend vom Gleichungssystem zur Steigung m?
m ergibt sich aus der Ableitung f'(2), da die Steigung von f(x) und t(x) an der Stelle x0=2 identisch sind. Es ergibt sich f'(2)=4; die Steigung m von t(x) ist demnach m=4
Wie gelangen wir zu der Höhe n, an der die Tangente die Ordinatenachse schneidet?
Da wir eben die Steigung m ermittelt haben, ist auch das kein Problem. Wir entnehmen dem Gleichungssystem die Gleichung x² = m*x + n und setzen alle bekannten Werte ein. Es ergibt sich n = -4
Nun haben wir alle Werte, um jene Tangente anzugeben, die den Graphen von f(x) im Punkt P(2|4) schneidet. Ergebnis: Die Tangentengleichung lautet: t(x)= 4*x–4.
Eine Normale schneidet wie eine Sekante den Graphen einer Funktion und damit auch den der Tangente senkrecht. Auch sie ist eine lineare Funktion. Sie wird dargestellt durch die Gleichung n(x)=m*x+b.
Auch für die Normale benötigen wir eine Steigung. Da sie senkrecht zu t(x) steht, nehmen wir deren Steigung (m = 4) und bilden daraus den negativen Kehrwert; daraus folgt n(x) = -(1/4)x+b.
Da die Normale ebenfalls den Punkt P(2|4) durchläuft, können wir den Wert von b durch einsetzen errechnen; es ergibt sich der Wert b = 4,5.
Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Steigung der Tangente wird in diesem Video erklärt.

Häufig benötigte Tangenten

Die häufigsten Vertreter der Gattung Tangente in Aufgaben ist wohl die Wendetangente. Hier werden Graphen im Wendepunkt tangiert, dem Punkt mit dem höchsten Gefälle oder der größten Steigung.
Ein spezielles Beispiel ist gewünscht: Hier schon mal ein Funktionstypus, die Gleichung der Wendetangente an eine Exponentialfunktion
Danach folgt dann die waagerechte oder Tangente an den Hochpunkt . Graphen haben in Ihren Extrempunkten die Steigung Null, also sind die Graphen solcher Tangente parallel zur x-Achse.
Es kommt Dir auch auf die Funktionsart an? Dann lies weiter und zieh Dir die weiteren Videos rein zur:

Tangente an verschiedene Funktionen

Im nächsten Beitrag sind für fast alle Funktionstypen Tangenten berechnet worden.
Hier noch mal speziell die an eine e-Funktion . Oft macht es Schwierigkeiten eine Tangente von einem Punkt - besonders beliebt: der Urprung an einen Grafen zu berechnen, dazu das nächste Unterkapitel:

Tangenten von Punkten

Von einem beliebigen Punkt an einen Graphen kann man eine "sich "Anschmiegende" bestimmen - und manchmal auch zwei, wie in dem Beispiel: Tangente vom Ursprung an den Grafen einer quadratische Funktion .
Im weiteren Verlauf dieser Sammlung von Mathe-Videobeiträgen rund um das Thema Tangenten und Tangentengleichung geht es um:

Tangenten an Kreise

  • Tangenten am Kreis
  • Kreisgleichung mit Berührpunkt, Tangente und Radius
  • Kreis: Sekante, Tangente oder Passante

Tangente in Bezug zu Rekonstruktion

In den Rekonstruktionsaufgaben finden sich auch diese Vertreter, die in ihrem Aufgabentext etwas mit Tangenten zu tun haben. Häufige Formulierung dabei: "die Steigung der Tangente im Punkt sowieso...":

  • Rekonstruktion von Funktionen - Symmetrie, Tangente, Nullstellen
  • Rekonstruktion Polynomfunktion Bedingung Wendetangente
  • Orthogonal?e Tangenten in den Nullstellen Kurvenschar

Spezielle Fragestellungen

  • Warum haben e^x und -x^3 keine parallelen Tangenten
  • Parallele zu Gerade soll Tangente an Parabel sein
  • Parallele Gerade tangiert ganzrationale Funktion (Tangente)
  • Schnittstelle von Tangente an e-Funktion und x-Achse allgemein

Integral

  • Flächeninhalt zwischen biquadratischer Funktion und Tangente im Hochpunkt

Tangentengleichung und Normalengleichung

Die Tangentengleichung an den Graphen einer Funktion kann man aus der Normalengleichung ermitteln und umgekehrt auch die Normalengleichung aus der Tangentengleichung. Dazu ein Beispiel.
Wir wissen, dass die Tangentengleichung so lautet:
t(x)=2x+4
Und der Punkt ist P(3/5)
Dann ist der Ansatz für die Normalengleichung dieser hier:
n(x)=-1/2x+b
Denn sie Steigung der Normale ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.
Jetzt setzt man den Punkt ein: Koordinate: x=3 und Koordinate y: n(x)=5 und kann daraus b berechnen:
5=-1/2*3+b
b=3,5
Ergebnis: Also lautet die Gleichung
n(x)=-1/2x+3,5
Dazu müssen wir noch nicht mal die Funktionsgleichung geschweige denn Ihren Graphen kennen.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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