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Was ist eine Tangentialebene?

Erst mal wörtlich genommen: eine Tangentialebene ist eine Ebene, die etwas in einem Punkt berührt. Das, was berührt wird, ist in der Schule meist eine Kugel. Es kann aber auch eine Funktion mit zwei Variablen sein. Damit wollen wir jetzt hier einmal anfangen:

Tangentialebene einer Funktion mit zwei Veränderlichen

Die Tangentialebene ist nichts anderes, als die Linearisierung einer einfachen Funktion, aber nun mit zwei, anstatt einer Veränderlichen oder auch Variablen genannt. Es wird in Verbindung mit diesem Thema auch auf die Grundlagen der mehrdimensionalen Algebra eingegangen.

Die mehrdimensionale Funktion, mit der gearbeitet werden soll, besitzt hier zunächst zwei Variablen x und y und heißt formal richtig: z(x,y)

Die Tangentialebene kann als eine Näherungsebene angesehen werden, die die komplizierte Funktion z(x,y) in einem bestimmten Bereich approximiert - also annähert. Die Näherung beschränkt sich erfreulicherweise auf eine einfache Ebenengleichung, die jedoch sehr gute Ergebnisse, je nach Anwendungsfall und geforderter Genauigkeit, liefern kann. Das vereinfachte Modell besitzt zwar einen Gültigkeitsbereich (ist also nur in einem bestimmten Intervall erfolgreich anwendbar), doch die vereinfachte Funktion soll ja auch nur in diesem reduzierten Bereich eingesetzt werden. Also eine ziemlich einfache und geniale Idee. Der große Vorteil liegt darin begründet, dass das vorgestellte Verfahren besonders einfach durchzuführen ist und nur ein „Update“ der einfachen Linearisierung einer Funktion mit nur einer einzigen Variablen darstellt.

Im Vergleich zur etwas einfacheren Linearisierung einer Funktion mit nur einer Veränderlichen x, benötigt man im jetzt vorliegenden Falle bei der Funktion z(x,y) aber nun zwei Komponenten des Arbeitspunktes (vorher nur x0), nämlich x0 und y0.

Die zunächst erschreckende Formel für die Tangentialebene lautet:

T(x,y)=z(x0, y0)+z_x(x0, y0)∗(x−x0)+z_y(x0, y0)∗(y−y0)

Dabei bedeuten die unterschiedlichen Ausdrücke:

T(x,y): Die Tangentialebene selbst

x indiziert 0 (x0): Die x-Koordinate des Arbeitspunktes

y indiziert 0 (y0): Die y-Koordinate des Arbeitspunktes

z indiziert x (z_x): Die 1. Ableitung der Funktion z nach x

z indiziert y (z_y): Die 1. Ableitung der Funktion z nach y


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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