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Trassierungsaufgaben verlangen von uns, Funktionsgraphen, gerne auch zwei Geraden wie in diesem Video, knickfrei zu verbinden. In dieser AUfgabe soll diese Verbindung durch eine Parabel realisiert werden, dazu muss an den Verbindungsstellen sowohl der gleiche x- als auch der gleiche y-Wert gelten:

Aus dem Video:

Trassierung

Es sind zwei Geraden gegeben, die jeweils nur in einem bestimmten Abschnitt definiert sind. Diese beiden Geraden sollen nun so miteinander verbunden werden, dass sie eine knickfreie Parabel darstellen.

Dazu müssen erst einmal beide Geradengleichungen aufgeschrieben werden:

f(x) = -4x-14 definiert in dem Bereich von -5 bis -2

g(x) = 6x-6,5 definiert in dem Bereich von 0,5 bis 3

Dann überlegt man sich, wie eine allgemeine Parabelgleichung aussieht, nämlich:

h(x) = ax²+bx+c und ihre Ableitung:

h'(x) = 2ax+b

Im nächsten Schritt muss man sich Bedingungen überlegen. Die erste Bedingung ist, dass f(x)=h(x), denn nur so ist gewährleistet, dass die Gerade g auf der gesuchten Parabel h liegt. Und ebenso muss natürlich auch g(x)=h(x) sein. Nun ist gewährleistet, dass sowohl die Geradenabschnitte g(x) und f(x) auf der Parabel h(x) liegt. Fehlt nur noch die Bedingung "knickfrei". Mathematisch formuliert heißt dass, das die gleichen Steigungen vorliegen müssen und Steigungen sind die 1. Ableitung.

Also:

f'(x)=h'(x)

und

g'(x)=h'(x).

Als nächstes muss man sich fragen, welchen Wert x hat. Die Gerade f(x) ist ja definiert bis zu dem Punkt -2, dort ist dann eine "Lücke", die mit der Parabel gefüllt werden muss. Also muss an dem Punkt -2 die Geradengleichung von f und h übereinstimmen, in mathematischer Sprache: f(-2)=h(-2) und ebenso für g. Da die "Lücke" bis zu dem Punkt 0,5 ist, muss h(0,5)=g(0,5) sein. Das Gleiche gilt natürlich für die Steigungen, also Ableitungen.

Dadurch, dass wir nun die Werte für x haben, kann man durch Einsetzen f(-2) und g(0,5) ausrechnen: f(-2)=-4(-2)-14=-6 und ebenso g(0,5)=-3,5. Die Ableitungen entsprechen den Steigungen, also f'(-2)=-4 und g'(0,5)=6.

Diese neuen Bedingungen können wir nun mit h(x) gleichsetzten, dann erhalten wir:

I. h(-2)=a(-2)²+b(-2)+c=-6 <=> 4a-2b+c=-6

und II. h(0,5)=a(0,5)²+b(0,5)+c=-3,5 <=> 0,25a+0,5b+c=-3,5

und III. h'(-2)=2a(-2)+b=-4 <=> -4a+b=-4

und IV. h'(0,5)=2*a*0,5+b=6 <=> a+b=6.

Nun folgen Umformungen und Einsetzungen:

IV. b=6-a

IV. in III. -4a+6-a=-4 <=> -5a=-10 <=> a=2

Ergebnis für a in IV: b=6-2=4

Ergebnis für a un b in I: 42-2*4+c=-6 <=> 8-8+c=-6 <=> c=-6

Also ist die gesuchte Parabelgleichung h(x)=2x²+4x-6 


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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