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Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, löse ich jede Gleichung nach x auf und vertausche dann x und y, oder

Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, vertausche ich zuerst x und y und löse dann nach y auf.

Bei richtiger Berechnung ist der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung der Ausgangsfunktion und zwar gespiegelt an der Achse y=x (Winkelhalbierende)

Umkehrfunktion Übersicht

    Erstes Video zur Umkehrfunktion

    Zweites Video zur Umkehrfunktion

    Links zu allen Videos über Umkehrfunktionen auf OberPrima

Die beiden ersten Videos behandeln folgende Inhalte:

- Aufgaben zur Umkehrfunktion verschiedener Funktionen - Die Spiegelachse jeder Umkehrfunktion - Beispielberechnung für die Umkehrfunktion von y=1/(2x)

Erstes Umkehrfunktionsvideo

Aus dem Video Umkehrfunktion

Gebildet werden soll die Umkehrfunktion der Funktion

y=7x-23x+2

Eine Umkehrfunktion wird gebildet, indem nach dem Argument, also in diesem Fall x isoliert wird, und anschließend die Variablen vertauscht werden.

In der Funktionsgleichung taucht das x im Zähler und im Nenner auf. Eines davon muss eliminiert werden. Dies geschieht durch die Polynomdivision.

(7x -2) : (3x +2) = 7/3 -(6 +2/3)/(3x +2)

Tipp: An dieser Stelle kann der Doppelbruch schon aufgelöst werden. Damit der Rechenweg besser nachvollziehbar ist, wird darauf verzichtet.

Wir erhalten also die umgeformte Funktion

y = 7/3 -(6 +2/3)/(3x +2)

Das x soll nach wie vor isoliert werden. Also werden alle Terme, die kein x enthalten auf die andere Seite der Gleichung gebracht und das Vorzeichen getauscht.

-y +7/3 = (6 +2/3)/(3x +2)

Nun wird auf beiden Seiten der Kehrwert gebildet. (Alternativ können geübte Leute beide Seiten mit (3x +2)/(-y +7/3) multiplizieren).

1/(-y +7/3) = (3x +2)/(6 +2/3) <=> (6 +2/3)/(-y +7/3) = 3x +2 <=> 3x = (6 +2/3)/(-y +7/3) -2 <=> x = (2 +2/9)/(-y +7/3) -2/3

Nun werden die Variablen x und y getauscht.

y = (2 +2/9)/(-x +7/3) -2/3

Dies ist die Umkehrfunktion der ursprünglichen Funktion y = (7x -2)/(3x +2). Am Graphen kann man erkennen, dass die Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wurde.

Zweites Umkehrfunktionsvideo

Links zu allen Videos über Umkehrfunktionen auf OberPrima

    Umkehrfunktionen Einführung Teil 1

    Vokabeln Teil 1

    Umkehrfunktion quadratische Funktion

    Umkehrfunktion gebrochenrationale Funktion

    Umkehrfunktion ln-Funktion

    Umkehrfunktion ln(1-x²)

    Umkehrfunktion Exponentialfunktion

    Umkehrfunktion e-Funktion mit Bruch

    Umkehrfunktion Bruch

    Ableitung der Umkehrfunktion

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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