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Vektorrechnung, das Rechnen mit Vektoren

Vektorrechnung, vektorielle oder auch analytische Geometrie genannt, ist abiturrelevant. Vektoren kommen im Lehrplan der 11. und 13. Jahrgangsstufe vor. Hier folgt zuerst ein Beispiel für Videos im Bereich Vektorrechnung. Darunter findest du eine Sammlung von Links zu den wichtigsten Bereichen der analytischen Geometrie zur Vorbereitung auf die nächste Klausur oder Dein Matheabitur.

Inhaltsverzeichnis


Vektorrechnung Video Beispiel von OberPrima.com


Schau Dir jetzt das Beispielvideo zur Vektorrechnung in Mathematik auf OberPrima.com an.

Vektorrechnung in der Nachhilfe

In der Nachhilfe ist das Rechnen mit Vektoren ein besonders schönes Teilgebiet im Fach Mathematik. Die wichtigsten Themen in der Schule sind leicht verständlich erklärbar. Sowohl in der Vorhilfe als auch in der Nachhilfe kann hier sehr schnell voran kommen. Ich empfehle das Thema besonders für das mündliche, weil ich gute Erfahrungen mit meinen bisherigen Schülern in der Nachhilfe hatte.

Das wichtigste zum Thema Vektorrechnung jetzt hier in Kurzform:

  • Ein Vektor ist eine Klasse von Pfeilen (Vektoren).
  • Ein Vektor hat eine Richtung und eine Länge, die durch seine Koordinaten festgelegt werden.
    Die Richtung von Vektoren nennt man auch Orientierung dieser Vektoren und die wird besonders interessant bei Vektorgeraden
  • Ein Vektor kann mit anderen kombiniert werden, das nennt man Linearkombination von Vektoren
  • Ein Vektor kann in der Länge durch Multiplikation mit einer Zahl verändert werden. Die Richtung des Vektors ändert sich dadurch nicht.
  • Die Länge eines Vektors ist der Betrag dieses Vektors.
  • Die Rechenoperationen sind nicht besonders kompliziert.
  • Vektoren kann man verlängern und verkürzen, man kann sie umdrehen und verschieben
  • Man kann Vektoren addieren und subtrahieren.
  • Die Addition von Vektoren, kann man graphisch machen (dann hängt man den einen Pfeil mit dem Schaft an die Spitze des anderen Pfeils. Die Rechenoperationen sind: Jede Koordinate der Vektoren addieren.
  • Auch die Differenz, ist eine Rechenoperation, die man mit Vektoren machen kann, auch hier: jede Koordinaten der Vektoren subtrahieren.
  • Für die Multiplikation von und mit Vektoren stehen sogar drei Möglichkeiten bereit.
    • Die skalare s Multiplikation, also die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor (Das Strecken, Verkürzen in Richtung des Vektors und das Umdrehen von Vektoren) funktioniert so: Zahl mal Vektor gleich Vektor.
    • Das Skalarprodukt von Vektoren (hat was mit dem Winkel zwischen Vektoren, also auch wieder was mit der Richtung zu tun) Wichtig: Vektor mal Vektor = Zahl
    • Und zu guter letzt das Kreuzprodukt die Multiplikation mit dem Kreuz in der Mitte: diese Multiplikation benötigt man am häufigsten zur Berechnung eines Vektors, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht. Vektor kreuz Vektor gleich Vektor!

Immer wieder kommen in den Berechnungen mit Vektoren lineare Gleichungssysteme vor, also sollte man die Verfahren lineare Gleichungssysteme zu lösen drauf haben, um mit Vektoren zu rechnen.

Was sind Vektoren? Was ist eigentlich ein Vektor?

Die Definition ist für die meisten Berechnungen in Klausuren nicht wichtig. Trotzdem soll sie hier genannt werden: Ein Vektor ist eine Klasse von Pfeilen, die alle die gleiche Länge und Orientierung (Richtung) im Raum einnehmen. Vektoren sind die Grundlage für die Vektorrechnung. Vektoren sind Klassen von Pfeilen, die eine bestimmte Länge haben und in eine Richtung zeigen. Was soll das heißen?
Man muss sich dabei vorstellen, dass so ein Pfeil potenziell an jedem Ort im Universum gleichzeitig ist, damit er Vektor genannt werden kann. Klingt merkwürdig. Aber so muss man sich das vorstellen.
Man kann sich merken, dass ein Vektor immer eine ganze Klasse von Pfeilen ist. Er ist immer unendlich viele Pfeile. Und die sind theoretisch überall, haben dieselbe Länge und zeigen in dieselbe Richtung!
Ein Vektor hat in der Schule meist 2 oder 3 Koordinaten, prinzipiell kann er aber auch unendlich viele haben. Das kommt aber in der analytischen Geometrie nicht vor.

Vektoren haben die gleiche Länge und Orientierung im Raum


Jeder Pfeil ist ein Repräsentant eines Vektors. Würde man jeden dieser Pfeile zeichnen, wäre das Blatt schwarz.

Das Thema Vektoren kommt ja in der Oberstufe in Mathematik dran und ist Teil der analytischen Geometrie. Hier kann man schon sehen, dass einmal Analysis und einmal Geometrie in diesem Thema drin stecken. In der Geometrie in der Mittelstufe hat man sich schon mit geometrischen Figuren und Körpern beschäftigt. Das, was jetzt dazu kommt, ist die dritte Dimension. Und ein Koordinatensystem mit drei Dimensionen.

Kartesisches dreidimensionales Koordinatensystem

Wichtig ist, dass ein Vektor nicht notwendigerweise drei Dimensionen haben muss, er kommt auch mit zwei aus. Zeichnen wir hier beispielhaft einmal drei Punkte ein. Das Koordinatensystem zu zeichnen fällt kaum jemandem schwer. Wie man auf den Bildern zum Koordinatensystem sehen kann, wird die x-Achse in einem Winkel von 45° nach unten links gezeichnet. Dabei ist eine Einheit ein schräges Kästchen lang. Die anderen beiden Achsen in unserem Koordinatensystem sind dann zwei Kästchen lang. Dadurch entsteht der Eindruck der räumlichen Verzerrung.

Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem

Beim Vektorrechnen haben die Punkte also drei Koordinaten. Und somit gibt es auch drei Achsen im Koordinatensystem. Diese heißen entweder x, y und z oder in manchen Mathebüchern auch x1, x2 und x3. Die Punkte im Bild oben haben folgende Koordinaten:
  • A ( 2 | 1 | 0 )
  • B ( 0 | 3 | 0 )
  • C ( 0 | 1 | 2 )
  • D ( 3 | 0 | 1 )

Alle vier Punkte haben etwas gemeinsam. Mindestens eine Koordinate ist gleich Null. Das bedeutet, sie liegen auf ganz besonderen Ebenen, den Koordinatenebenen. A liegt in der Grundriss Ebene, C in der Aufriss-Ebene und D in der Seitenrissebene. Punkt B liegt sogar in zwei dieser Ebenen und auf der y-Achse.
Zeichnet oder denkt man sich jetzt Pfeile vom Ursprung zu den Punkten, dann zeichnet man Ortsvektoren. Das sind Vektoren, die vom Ursprung auf einen Ort zeigen. Und man kann auch zwei Punkte mit einem Pfeil verbinden. Das ist dann der Verbindungsvektor.

Vorstellen von Vektoren Ortsvektor und Verbindungsvektoren

In diesem Bild siehst Du zwei Ortsvektoren: 0A-Vektor und 0D Vektor, sowie den DC-Vektor. Jeder Pfeil zeigt einen Vektor.
Mit Vektoren kann man einige Rechenoperationen durchführen (Rechnen also).

Rechnen mit Vektoren

Die Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors nennt man den Betrag dieses Vektors. Die Länge von Vektoren benötigt man in der Vektorrechnung unter anderem bei der Bestimmung von Abständen. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist nämlich gleich der Länge des Vektors, der von dem einen auf den anderen Punkt zeigt.

Addition mit Vektoren

Hier gehts zu den Videos zur Vektoraddition

Wir haben zwei Vektoren a = ( 1 1 ) und b = ( 2 3 ) gegeben. Die Zahlen in der Klammer schrieben wir übereinander. c = a + b .
Nun schreiben wir das so auf wie üblich:
c = ( 1 1 ) + ( 2 3 )
Man rechnet nun x + x und y + y. Das kann man gleich zusammenfassen:
c = ( 1 + 2 1 + 3 ) . Dies sagt nichts anderes aus, als dass wir einmal die X Koordinaten und die Y Koordinaten addieren können.
Das Ergebnis ist also: c = ( 1 1 ) + ( 2 3 ) = ( 3 4 )

Wie addiert man Vektoren zeichnerisch?

Unsere Beispielaufgabe hat ja nur zwei Dimensionen, wir haben also einen a (x|y) . Das bedeutet wir können das ganze in ein Koordinatensystem einzeichnen, wie wir es aus der Mittelstufe kennen, also eins mit X und Y-Achse. Wenn wir nun den Punkt A (1|1) und den Punkt B (2|3) vorstellen, dann ist es bei dem Punkt A immer so gewesen, dass wir einen nach rechts auf der X-Achse gegangen sind und einen Schritt nach oben auf der Y-Achse gegangen sind. Dort haben wir nun den Punkt eingezeichnet. Aber wo ist denn nun der a ? Als erstes muss gesagt werden, dass es mehrere Möglichkeiten gibt den a ein zu zeichnen. Zum Anfang können wir uns jedoch einen Repräsentanten einzeichnen, der als Pfeil von dem Koordinatenursprung (0|0) bis zum Punkt A (1|1) verläuft. Gleichzeitig können wir den a ber auch vom Punkt (3|0) zum Punkt (4|1) ziehen. Beides beschreibt den gleichen Vektor, der nur an einer anderen Stelle ansetzt.
Zwei Vektoren, die grafisch addiert werden sollen


Beim grafischen Addieren hängt man den Schaft des einen Vektors einfach an die Spitze des anderen Vektors. Die Verbindungslinie vom Schaft des ersten Vektors zur Spitze des zweiten Vektors ist das grafische Ergebnis der Addition dieser beiden Vektoren.

Wir stellen uns nun einmal vor, dass wir einen bestimmten Repräsentanten dieses Vektors a (1|1) einzeichnen, also einen in X und einen in Y Richtung, denn genau das macht diesen Pfeil ja aus. Das Gleiche machen wir nun auch mit dem Vektor b (2|3). Wir gehen nun also vom Koordiantenursprung 2 Schritte in X und 3 Schritte in Y Richtung. Jetzt verbinden wir diesen Punkt B mit dem Ursprung und bilden diesen Pfeil, den wir als Vektor b benennen.

Wie kann man sich nun den Vektor c vorstellen?

Das ganze können wir wie gewohnt einzeichnen. Wir wissen ja, dass der Vektor c (3|4) ist, da wir das eben zusammen gerechnet haben. Wenn wir uns das graphisch vorstellen, können wir nämlich a und b aneinander hängen.


Vektoren addieren und subtrahieren


Verbindungsvektor: Vektoren Subtrahieren

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gegeben: A (4|4) B (11|8) gesucht: A B ?
Die beiden Punkte A und B haben wir nun in ein Koordinatensystem eingezeichnet und mithilfe eines Pfeils verbunden. Bei Vektoren ist es immer so, dass man erst in X und dann in Y Richtung geht. Also muss man vom Punkt A erst sieben Schritte nach rechts, also auf der X Achse und dann 4 Schritte nach oben, also auf der Y Achse lang gehen, um beim eingezeichneten Punkt B zu landen. Der A B ist dann also (7|4). Das ganze ist natürlich unpraktisch, wenn man das immer abzählen muss. Wir befinden uns hier noch im zweidimensionalen Koordinatensystem, wenn es sich jedoch um ein dreidimensionales Koordinatensystem handelt wird diese Methode zu kompliziert.

Wie können wir uns diesen Vorgang nun mathematisch erklären?

Die X-Koordinate des Punktes A beträgt 4 und die X-Koordinate des Punktes B ist 11. Damit wir auf die 7 kommen, müssen wir nur 11 - 4 rechnen. Auf die 4 in Y-Richtung kommen wir, wenn wir 8 - 4 rechnen. Das einmal zur Anschauung.
Wenn wir uns das ganze nun im dreidimensionalem vorstellen, kommt auch eine Höhe zu tragen.
Zusammenfassung: Wenn wir A B errechnen wollen, funktioniert das folgendermassen:
A B = Vektor 0b - Vektor 0a
(Immer der Buchstabe der hinten steht, also bei A B der b Vektor, als erstes)
Wer sich nun fragt was denn nun der 0A oder der 0b Vektor ist, dem kann das ganz einfach erklärt werden: Der 0a Vektor ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt A, nämlich (4|4), weil wir ja vom Punkt (0|0) vier in X-Richtung und 4 in Y- Richtung gehen. Dann landen wir logischerweise beim Punkt (4|4).

A B = Vektor 0b - Vektor 0a
A B = ( 11|8 ) - ( 4|4 )
A B = ( 11-4 )|( 8 - 4 )
a b = ( 7|4 )
Das Aneinanderhängen von Vektoren nennt man auch

Linearkombination von Vektoren

Mit Vektoren kann man zum Beispiel den Weg von einem Punkt A zu Punkt B beschreiben. Das kann man sich so vorstellen, dass ein Pfeil von A auf B zeigt. Will man jetzt von A über B nach C kommen, macht man einen Umweg. Und das nennt sich Linearkombination von Vektoren. Man hängt die beiden Pfeile aneinander. Rechnerisch ist das so etwas wie A B plus Vektor BC.

Beispiel im dreidimensionalem Koordinatensystem:

C (1|3|-5) D (2|-4|7)
In unserer Beispielaufgabe wollen wir nun den Vektor cd herausfinden. Wenn wir wie oben die Formel anwenden, müssen wir folgende Gleichung aufstellen:

Vektoren Verbindungsvektor berechnen

Bei - 4 - 3 können wir uns die Eselsbrücke bauen, dass es - 4 Grad sind, und dass es noch einmal 3 Grad kälter wird, also schlussendlich - 7 Grad sind.
Bei 7 - (- 5) müssen wir darauf achten, dass 12 herauskommt, da - und - ja wieder + ergibt.
Vektor cd = (1|-7|12)
Wenn wir jetzt den Vektor dc bestimmen wollen, geht der ja genau in die andere Richtung. Dann rechnen wir auch tatsächlich:
Vektor dc = (1|3|-5) - (2|-4|7)
Vektor dc = (-1|7|-12)
Jetzt erkennen wir schon, dass es sich um den Gegenvektor handelt. Die Vorzeichen sind vertauscht. Das liegt daran, dass die Richtung des Vektors cd entgegengesetzt des Vektors dc ist.

Vektoren normieren

Vektoren zu normieren heißt, sie genau auf eine Einheit Länge zu beschneiden - das kann ein Normalenvektor sein, aber auch ein Eigenvektor einer Matrix.

Vektoren normieren - Standardvorgehen

In der Mathematik ist das Normieren von Vektoren ein Standardverfahren. Im einfachsten Fall wird es benötigt, um unterschiedliche Vektoren zu vergleichen. Weiterhin können normierte Vektoren notwendig sein, um weit komplizierte Rechnungen durchführen zu können.
Im Folgenden wird das Verfahren zur Vektornormierung zusammengefasst.

Das Standardvorgehen zur Vektornormierung

Jeder Vektor hat eine Orientierung im Raum und einen Betrag ("Länge"). Der zugehörige normierte Vektor soll die gleiche Orientierung besitzen, jedoch den Betrag 1 ("genau eine Längeneinheit lang sein"). Dazu wird der Originalvektor durch seinen eigenen Betrag geteilt. Angenommen, der Vektor hat einen Betrag von 12 Längeneinheiten, so wird er durch 12 geteilt. Somit wird sicher gestellt, dass die Orientierung unverändert bleibt und der normierte Vektor immer noch in die gleiche Richtung zeigt, der Betrag sich jedoch auf genau eine Längeneinheit "verkürzt".

Praktische Anleitung zum Normieren von Vektoren

Als Erstes bildet man den Betrag des Vektors, der normiert werden soll. Dazu werden alle einzelnen Koordinaten des Vektors quadriert, addiert und dann die Wurzel der Summe gezogen.
Man teilt den Vektor (und somit alle seine Einträge) durch den berechneten Betrag.
Dadurch wird dann der Vektor genau eine Längeneinheit lang und behält seine Orientierung im Raum.
Normalvektoren kommen in der Vektorrechnung öfter vor, so beispielsweise in der Normalenform, der Koordinatenform und in der Hesseschen Normalform. Genau diese Ebenenform ist es auch, die man braucht um Abstände zu berechnen.

Wie berechnet man die Länge eines Vektors?

Hier gehts zu den Videos.
Bei dieser Frage kann man schön sehen, wie die Geometrie der Mittelstufe und das Rechnen mit Vektoren zusammenhängen. Denn die Länge eines Vektors wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Wenn du dich noch daran erinnern kannst, wie man eine Raumdiagonale in einem Quader zum Beispiel berechnet, dann wird dir die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors (man sagt auch Betrag eines Vektors dazu) bekannt vorkommen.

Abstandberechnung mit Vektoren

Hier siehst Du den Vektor AB. Einmal die Berechnung des Pfeils selbst (unten). Und einmal die Berechnung der Länge dieses Pfeils nach dem Satz des Pythagoras. Genauso kann man das dann auch in 3D machen - wie, erfährst Du in den Videos.


Grundlagen der Vektorrechnung

Die Grundlagen der analytischen Geometrie sind zugegeben nicht das spannendste, was dieses Thema anzubieten hat, aber wie der Begriff "Grundlagen analytische Geoemtie" schon sagt, braucht man diese in den späteren Anwendungen immer wieder. Als allererstes kann man sich Videos angucken, wie man Punkte ins 3D-Koordinatensystem einzeichnet bzw. einträgt. Eine weitere wichtige Grundlage ist das Addieren von Vektoren , mit dem man anschaulich zwei Vektorpfeile hintereinander legt, so dass ein dritter Vektor der resultierende Vektor dabei heraus kommt. Darauf folgt dann der Verbindungsvektor , der entsteht, wenn man Vektoren subtrahiert. Dazu passend und verknüpft mit der Herangehensweise vieler Bücher diese Fragestellung: Welche Punktpaare bilden denselben Vektor. Orthogonale Vektoren und lineare Abhängigkeit ist dann das nächste Thema, dazu passende die Videos:

  • Parallele und orthogonale Vektoren
  • ABI 3A Vektoren rechtwinklig

Koordinatenebenen sind die Aufriss- Grundriss-, und Seitenrissebene die in den verlinkten Grundlagen- oder Basisvideos anschaulich gezeigt und erklärt werden. Das Spiegeln von Vektoren ist oft zwar nur eine technische Übung, aber man kann dabei die Vorstellungskraft oder das Abschalten derselben trainieren.

Begriffe von Grundlagen in der analytischen Geometrie

Was in der Aufgabe steht
Was das heißt
Kartesisches Koordinatensystem
normales Koordinatensystem
Ortsvektor
Vektor, der vom Ursprung zu einem Punkt zeigt
Stützvektor
in einer Parameterform von Vektorgerade und Ebene der erste Vektor, der keinen Parameter hat
Richtungsvektor
der Vektor in einer Gerade, der mit einem Parameter gestreckt, gestaucht und gespiegelt werden kann. Dieser Pfeil gibt die Richtung bzw. die Orientierung der Geraden an.
Verbindungsvektor
Ein Vektor, der von einem Punkt zu einem anderen zeigt.
Einheitsvektor
Ein Vektor, der genau eine Einheit lang ist. Dieser Pfeil wird zum Berechnen von Abständen verwendet.
Spannvektoren
Die beiden Vektoren in der Punktrichtungsform der Ebenengleichung, die mit Parameter versehen sind
Normalenvektor / Normalvektor
Ein Vektor, der senkrecht (Skalarprodukt der beiden Vektoren ist gleich Null!) zu etwas steht. In der Schule steht dieser Vektor meistens auf einer Ebene und taucht in der Normalenform auf

In den Grundlagen geht es um Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem und um Vektoren als Pfeilen, mit denen man z.B. die Verschiebung von Punkten, aber auch die Bewegung von Flugzeugen in 3D darstellen kann. Man kann solche Pfeile grafisch addieren, sich das ganze also vorstellen, aber nicht jeder kann sich dreidimensionale Zusammenhänge natürlicherweise im Kopf vorstellen. Um gute Klausurergebnisse zu erzielen, ist das aber in den allermeisten Fällen auch gar nicht unbedingt notwendig. Weiterhin macht man sich Gedanken um Verbindungsvektoren und darum, wie man Vektoren z.B. strecken kann.

Geraden und Ebenen


Darauf bauen dann Geraden und Ebenen auf, die meistens als nächstes Teilthema in der analytischen Geometrie behandelt werden. Eine Gerade hat dabei einen Ortsvektor, der auch Aufpunkt genannt wird und einen Richtungsvektor, den wir in die Unendlichkeit strecken können. Bei einer Ebene wird in einem ersten Schritt noch ein weiterer Richtungsvektor an eine Gerade dran gehängt und dann heißen diese beiden Richtungsvektoren auch Spannvektoren, denn sie spannen die vektorielle Ebene auf.

Lagebeziehungen mit Vektoren

Die Untersuchung der Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zueinander sind ein zentrales Thema der ersten Klausur. Man kann die gegenseitige Lage von Punkt, Gerade und Ebene jeweils wechselseitig überprüfen. Für die Fortgeschrittenen kommen dann auch noch Kugeln hinzu.
Liegt der Punkt auf einer Gerade bzw. Ebene oder nicht?
Merk Dir einfach: Ein Punkt kann entweder Teil einer Geraden oder einer Ebene sein, oder nicht. Der Pfeil, der auf den Punkt zeigt muss also auch auf die Gerade zeigen. Um das zu überprüfen, setzt man den Punkt ein. Wo? Entweder in den Vektor x, oder für die Koordinaten, die in der Gleichung vorkommen. Und dann? Auflösen oder vereinfach und die Lösung interpretieren. Mehr dazu in den Nachhilfevideos.
Geraden können zueinander parallel, identisch, schneidend oder windschief sein. Geraden können eine Ebene entweder schneiden, parallel zu ihr sein oder in der Ebene verlaufen. Und immer, wenn es zum Schnitt kommt - der auch bei Ebene und Ebene vorkommen kann - dann lassen sich auch Schnittwinkel bestimmen. Will man prüfen, wie zwei Ebenen zueinander liegen, empfiehlt es sich, unter den Videos zur Umwandlung von Ebenengleichungen zu schauen und am besten zügig jede Ebene in eine Kooordinatenform bringen zu können. Damit gehen sehr viele Berechnungen schneller als mit den anderen. Wenn man die gegenseitige Lage analysieren kann (unter anderem deswegen heißt das ganze wohl auch analytische Geometrie), dann stellt man fest, dass viele Entitäten (grob formuliert, Dinge - also Geraden, Punkte oder Ebenen) Abstände zueinander haben können - und auch diese Berechnung kann man mit den Videos auf OberPrima lernen. Dazu werden alle Verfahren vorgestellt, die in der Schule vorkommen. Als erste Anwendung kommen dann Videos zu geometrischen Figuren wie Dreiecken, Parallelogrammen und Würfeln, Tetraedern, es werden Mittelsenkrechten bestimmt und Schwerpunktformeln hergeleitet und Flächen mit Vektoren berechnet. In den Rechentechniken kommen so schöne Sachen wie das Skalarprodukt, die Herleitung und Berechnung vom Kreuzprodukt (beide Produkte, also Skalarprodukt und Kreuz- bzw. Vektorprodukt, werden zusammen angewendet beim Spatprodukt), die Bestimmung vom Normalenvektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf der Ebene. Genauer gesagt steht er senkrecht auf jeder Verbindungslinie des Aufpunktes und einem Punkt, der Teil der Ebene ist. Bei dem Wort senkrecht musst Du bei den Vektoren immer an das Skalarprodukt denken. Und dann natürlich auch an das Wort Gleichungssystem.
Zu guter Letzt kommen auch die Abituraufgaben, Anwendungsaufgaben und Übungen noch zu Ihrem Recht. Hier gibt es Linkbeiträge, die komplexe Aufgaben enthalten, die man mit den Links zu den grundlegenden Videos lösen kann.
Weitere spannende Bereiche zum Rechnen mit Vektoren, die wie ein Ausflug wirken sind zum Beispiel die Projektion und Spiegelung von Vektoren und die Berechnung von Spurpunkten und Spurgeraden.

Liste mit allen Seiten zur Vektorrechnung, die weiter oben noch nicht aufgetaucht sind:

  • Mittelpunkt einer Strecke
  • Ebene und Ebenengleichungen
  • Spurpunkte und Spurgeraden
  • Ebenengleichungen umwandeln
  • Ebenenscharen
  • Lagebeziehungen
  • Skalarprodukt
  • Flächen mit Vektoren
  • Kreuzprodukt
  • Abstand berechnen
  • Projektion und Spiegelung
  • Kreisgleichung
  • Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



    Die besten Videos in Vektorrechnung schnell verstehen:


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