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Wann benötige ich den Vorzeichenwechsel?

Für die Bestimmung eines Extremums mit Vorzeichenwechsel benötigen wir zuerst einmal die erste Ableitung. Und als nächstes von der ersten Ableitung (f'(x)) die Nullstelle(n).

Wenn Du beim Ableiten noch nicht ganz fit bist, dann empfehle ich Dir die Hauptseite zum Thema Ableitung.

Wenn diese Extremstelle (x-Wert von Hochpunkt oder Tiefpunkt ) bekannt ist, macht man eine kleine Wertetabelle (wie im Video) und interpretiert dann diese Tabelle.

Beim Wendepunkt ist das Verfahren sehr ähnlich, mit dem Unterschied, dass die Berechnung in der zweiten Ableitung statt findet.

Einen Sattelpunkt (kommt im Video nicht vor) kann man nach diesem Schema so bestimmen: Ein Wendepunkt mit der Steigung 0, d.h. man bestimmt einen Wendepunkt wie im Video und schaut dann, ob der x-Wert des Wendepunktes, wenn man ihn in die erste Ableitung einsetzt f'(x)=0 werden lässt:

Hinweis: In der ersten Ableitung zu b) ist ein Versprecher am Start - aber es wird richtig hingeschrieben und damit auch weitergerechnet und -erklärt...

Vorzeichenwechsel Kriterium

Es geht um die Bestimmung der Art eines Extremums. Eine Methode wäre der Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle. Doch in diesem Video wird das Vorzeichenwechselkriterium beschrieben, welches eine einfache und schnellere Methode sein kann.

Gegeben sind die Funktionen f(x)= 2x² und g(x)= -2x²; also gestauchte und gespiegelte Parabeln.

Die Ableitung der ersten Funktion f(x)= 2x² lautet f'(x)= 4x. Die Nullstelle liegt bei 4x = 0 <=> x = 0

Nun wird ermittelt, welche Werte die Argumente dicht links und rechts neben der Nullstelle liefern. Dabei ist lediglich das Vorzeichen entscheidend. Die Werte werden in einer Wertetabelle eingetragen.

x -0,5 0 0,5
f'(x) - 0 +

Liegt ein Vorzeichenwechsel in der Ableitung von - nach +, dann liegt ein Tiefpunkt vor, was ebenso an der zweiten Ableitung zu erkennen ist, welche an dieser Stelle 4 beträgt.

Analog gilt für die Funktion g(x)= -2x² mit der Ableitung g'(x)= -4x

x -0,5 0 0,5
f'(x) + 0 -

Ein Vorzeichenwechsel in der Steigung von + nach - deutet auf ein Hochpunkt hin.

Das Testintervall muss dabei so gewählt werden, dass die Funktion darin kein weiteres Extremum, oder die erste Ableitung keine weitere Nullstelle besitzt. Wäre zum Beispiel bei 0,2 noch ein Extremum, würde die Tabelle ein falsches Ergebnis liefern. Findet tatsächlich kein Vorzeichenwechsel statt, so liegt ein Sattelpunkt vor.

Diese Methode funktioniert auch zur Bestimmung der Art des Kurvenwechsels bei Wendepunkten.

Die Funktion f(x)= 3x³ +2x mit den Ableitungen f'(x)= 9x² +2 und f''(x)= 18x hat an der Stelle 0 einen Wendepunkt, da die zweite Ableitung dort 0 ist. Die Wertetabelle liefert

x -0,1 0 0,1
f''(x) - 0 +

Dieser Vorzeichenwechsel deutet auf einen Rechts-Links-Wendepunkt hin, ebenso wie der umgekehrte Fall in folgender Tabelle einen Links-Rechts-Wendepunkt bedeutet.

x 4,5 5 5,5
f''(x) + 0 -

Bedingung ist auch hier, dass im Testintervall kein weiterer Wendepunkt, also keine weitere Nullstelle der zweiten Ableitung existieren darf.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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