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Eine Exponentialfunktion soll aus einer Wertetabelle, die die Menge von Bakterien in einer Bakterienkultur beschreibt, berechnet werden - dazu muss erst einmal geschaut werden, ob denn exponentielles Wachstum vorliegt oder nicht und dann müssen der Anfangsbestand und der Wachstumsfaktor in die Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum eingetragen werden: Hinweis von Pepsen: Bei 5:07 muss es natürlich hoch t heißen und nicht hoch x - ich hoffe, das stört niemanden?

Exponentialfunktionen Übersicht

und hier eine Ergänzung:


Aus dem Video:

Exponentialfunktion aus Wertetabelle - exponentielles Wachstum

Die erste Zeile der Wertetabelle beinhaltet die Zeit; die zweite Zeile die Anzahl der Bakterien (in Millionen) zum jeweiligen Zeitpunkt. Um nun festzustellen, ob ein exponentielles Wachstum vorliegt, muss man erst einmal wissen, was das bedeutet: Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn der Faktor, mit dem man einen Wert multiplizieren muss, um den nächsten zu erhalten, für alle Werte im gleichen Zeitabstand derselbe ist. Weil dieser Faktor konstant ist, spricht man eben von der Wachstumskonstante und nennt diese k. Was bedeutet das konkret? Der Quotient eines Wertes und des unmittelbar vorausgehenden soll denselben Wert haben, und zwar für alle Werte der Tabelle. Dabei darf man etwas tolerant sein und runden.

Die Teilaufgaben a und b sind somit identisch, denn um ein exponentielles Wachstum festzustellen, muss man den Wachstumsfaktor ermitteln und feststellen, ob er konstant ist.

Das ist hier der Fall: 6,6 geteilt durch 6,1 ergibt 1,08. Ebenso 7,1 durch 6,6 und so weiter.

Für die Aufgabe c benötigt man nun eine Funktion, um die Zahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit zu berechnen. Dazu gibt es zwei Schreibweisen. Entweder nennt man die Funktion f(x) oder N(t) [Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t]. Die Anzahl N(t) erhält man, indem man den Startwert der Bakterien N(0) mit dem Wachstumsfaktor hoch der Zeit t multipliziert. In Zahlen bedeutet das: Die Anzahl N(t) ist gleich 6,1 mal die Konstante 1,08 hoch t. Für die Anzahl nach 2,5 Stunden setzt man für t 2,5 ein und hat daher 1,08 hoch 2,5. Dieses Ergebnis wird mit 6,1 multipliziert, was wiederum das Endergebnis dieser Teilaufgabe liefert, nämlich die Anzahl 7,4 Millionen. "Eine Stunde vor Beobachtungsbeginn" bedeutet t gleich -1, und das liefert 5,648 Millionen.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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