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Wie berechnet man einen Wendepunkt?

Der Wendepunkt ist einer der Punkte, die wir während einer Kurvendiskussion immer wieder suchen dürfen.

Dabei gilt die notwendige Bedingung, dass f''(x), also die zweite Ableitung =0 gesetzt werden muss und der errechnete x-Wert muss dann noch eingesetzt werden: - für die Qualität in die dritte Ableitung f ''' (x) - hier darf nicht Null rauskommen und was in dem Video nicht vorkommt, um den Wendepunkt WP(x/f(x)) anzugeben, muss der x-Wert der Nullstelle der zweiten Ableitung auch noch in f(x) eingesetzt werden und zwar: - für die Quantität in die Ausgangsfunktion f(x), Quantität meint hier: y-Wert des Wendepunktes.

Man muss also fit sein, wenn man einen Wendepunkt berechnen will. Wenn Du merkst, dass da bei Dir noch hakt, dann empfehle ich Dir die Hauptseite zum Thema Ableitung und dort speziell auch noch die Ableitungsregeln Kettenregel und Produktregel.

Basisvideo Wendepunkt

Den Wendepunkt kann man mit dem Vorzeichenwechselkriterium nachweisen.

Grundsätzlich sinnvoll ist es, mit der Nullstellenberechnung vertraut zu sein, wenn man sich mit Extrema und Wendepunkten beschäftigt.

Wendepunkte und Sattelpunkte, das Video

Herzlich Willkommen zum Basisvideo bezüglich Wendepunkt und dem Spezialgebiet Sattelpunkt.

In einer Kurvendiskussion ist es ratsam, sowohl den rechnerischen als auch den graphischen Ansatz zu wählen, um Wendepunkte zu bestimmen.

Die erste Bedingung oder auch notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung der Funktion gleich null ist. Die Funktion des Graphen, beispielsweise die Folgende: f(x)= x3 +2x+1 leiten wir daher zweimal ab. Die erste Ableitung würde demnach heißen: f´(x)= 3x2 +2 und die zweite Ableitung: f´´(x)= 6x. Die ermittelte zweite Ableitung setzen wir nun gleich 0, also f´´(x)= 0 und was passiert ist folgendes: Durch normale Termumformung kommen wir darauf dass x gleich 0 ist. Dieses x nennen wir xW wie Wendestelle.

Neben der notwendigen Bedingung gibt es auch eine hinreichende Bedingung, die da lautet: f´´´(x)?0. Wir brauchen daher auch die dritte Ableitung namens f´´´(x)= 6. Da 6 ? 0 ist, ist die Bedingung erfüllt. Es handelt sich also um einen Wendepunkt.

Schauen wir uns den Graphen an, stellen wir fest, dass der Wendepunkt analog zum Fahrradfahren durch eine Rechts-Links-Kurve entsteht. Ist f´´´(x)>0 können wir spezifizieren und sagen, dass ein Rechts-Links-Wendepunkt vorliegt. Ist f´´´(x) <0 liegt konsequenterweise ein Links-Rechts Wendepunkt vor.

Der Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt, da für ihn zusätzlich gilt, dass f´(x) =0 sein muss. An der ermittelten Wendepunkt stelle x=0 muss die erste Ableitung also 0 sein damit an dieser Stelle ein Sattelpunkt vorliegt. Setzen wir 0 in die erste Ableitung ein, können wir feststellen, dass die Bedingung für einen Sattelpunkt nicht erfüllt ist, da f´(x)=2 ist und damit ist f´(x)?0. Graphisch unterscheidet sich der Sattelpunkt vom Wendepunkt dadurch, dass er keine Steigung hat. Beim Wendepunkt hingegen ist die Steigung maximal.

Auf diese Weise berechnet man Wendepunkt und Sattelpunktstellen in einem Graphen.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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