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Bestimmung der Wendetangente wie geht das?

Die Gleichung der Wendetangente zu bestimmen hört sich erst mal mächtig kompliziert an. Für die Berechnung einer Wendetangente benötigen wir Vokabeln, wie den Wendepunkt. Aber erst einmal zum Basisvideo Wendetangente einer ganzrationalen Funktion.

Wendetangente ist Tangente im Wendepunkt eines Graphen


Und hier kommt das Basisvideo Wendepunkt denn dieser Punkt ist nötig, um die Wendetangente auszurechnen.

Bestimmt werden soll die Wendetangente der Funktion f(x) = x³ -6x² -x +30. Dafür wird der Wendepunkt, also der Punkt, an dem die Krümmung wechselt bzw. zweite Ableitung gleich 0 ist, sowie die Steigung in diesem Punkt benötigt.

Schema zur Bestimmung der Gleichung der Wendetangente

Wendetangete Schema


Die allgemeine Gleichung oder Punktrichtungsgleichung ist t(x) = f(x0) + m(x-x0). Die Steigung m ist der Wert der ersten Ableitung an der Wendestelle. x0 und f(x0) sind die Koordinaten des Wendepunkts.

=> t(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)

Zunächst werden die ersten drei Ableitungen der Funktion bestimmt. Die dritte Ableitung muss an der Wendestelle ungleich 0 sein, um auszuschließen, dass der Wendepunkt am Ende doch nur ein Extrempunkt ist..

f(x) = x³ -6x² -x +30
Wir bilden die erste Ableitung:

f'(x) = 3x² -12x -1
Und gleich hinterher die zweite Ableitung:

f''(x) = 6x -12
Die dritte Ableitung ist notwendig. Setzt man in diese Gleichung den x-Wert vom Wendepunkt ein, darf der Wert der Ableitung nicht gleich Null sein! Sonst kann man sich nicht sicher sein, ob ein Wendepunkt vorliegt oder ein Extrempunkt.

f'''(x) = 6 => Es handelt sich um einen Wendepunkt. Kommt bei der Gleichung der dritten Ableitung am Ende eine positive Zahl heraus, so wechselt die Krümmung im Wendepunkt von rechts auf links.

Danach wird der Wendepunkt und die Steigung ermittelt. Die Steigung eines Punktes auf einem Graphen bekommt man, in dem man den x-Wert des Punktes für das x in der Gleichung der ersten Ableitung einsetzt.

f''(x) = 6x -12 = 0 <=> x = 2

=> x0 = 2 Der x-Wert vom Wendepunkt liegt bei 2. f(x0) = 8 -24 -2 +30 = 12

=> Der Funktionswert vom Wendepunkt ist 12, der Punkt lautet WP(2|12) f'(x0) = 12 -24 -1 = -13

=> Die Steigung am Wendepunkt ist -13

Eingesetzt in die Tangentengleichung erhalten wir:

t(x) = 12 +(-13)*(x-2) = -13x +38

Das entspricht der Achsenabschnittsform t(x) = mx + b mit m = -13 und b = 38.

Formel für die Berechnung der Wendetangente

Man kann die Wendetangente auch schneller bestimmen. Dazu gibt es eine Formel:

Formel Wendetangente

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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