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Der Wertebereich oder die Wertemenge einer Funktionsgleichung sind alle Y Werte, die durch einsetzen von X Werten entstehen können.

Jetzt lohnt es sich, erst einmal festzustellen, dass es Funktionen gibt, bei denen der Bereich, den die Y Werte annehmen können, nicht eingeschränkt ist und solche, bei denen er eingeschränkt ist.

Schauen wir uns dazu ein paar Fälle an.

Wertebereich und Extrempunkte

weist der Graph einer Funktion nicht nur Lokale Extrempunkte sondern absolute Extrempunkte auf, so ist dies ein Zeichen dafür, dass die Wertemenge eingeschränkt ist.

Nehmen wir als Beispiel die Normalparabel. Im Ursprung (0|0) hat die Funktion f(x)=x² ihren absoluten niedrigsten Wert. Das bedeutet, dass es nur positive Y Werte für diese Funktion gibt.

Es gibt aber auch Funktionen, bei denen der Wertebereich grundsätzlich nicht eingeschränkt ist. 

Wertebereich lineare Funktion

betrachtet man sich eine Gerade, so können hier die Y Werte jeden Wert annehmen.

Ausnahmen dabei sind Geraden, deren Steigung gleich null ist. Diese Geraden sind dann Parallelen zur x-Achse und der Wertebereich einer solchen Funktion ist auf den einen Wert beschränkt.

Wertebereich quadratische Funktion

quadratische Funktionen haben grundsätzlich einen eingeschränkten Wertebereich, denn jede Parabel hat einen Scheitelpunkt und dieser Scheitelpunkt ist entweder ein absolutes Maximum oder ein absolutes Minimum.

Wertebereich ganzrationale Funktion

bei ganz rationalen Funktionen muss man, um sicher zu sein, dass ein Extrempunkt auch wirklich der tiefste oder höchste Y Wert ist neben der Bestimmung des Extremums auch noch eine Grenzwertbetrachtung (Limes) durchführen.

Bekommen für für den Limes für X gegen unendlich zweimal ein Streben in dieselbe Richtung der y-Achse, so ist dies ein klarer Hinweis darauf, dass ein absolutes Extremum vorliegt und das wiederum heißt, dass die Wertemenge eingeschränkt ist.

Wertebereich gebrochen rationale Funktion

zusätzlich zur Limesbetrachtung für X gegen unendlich musst du bei diesem Funktionstyp auch noch das Verhalten der Y Werte an den Rändern des Definitionsbereiches, hier also zusätzlich an eventuell vorhandenen Polstellen bestimmen.

Wertebereich Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen können horizontale Asymptoten aufweisen. Wenn man sich f(x)=e^x ansieht, so stellt man fest, dass die Wertemenge die positiven Rebellenzahlen sind. Den Y Wert null oder negative Y Werte können von einer solchen Funktion nicht erreicht werden.

Wertebereich trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus verlaufen in gewissen Strukturen immer zwischen zwei Y Werten hin und her. f(x)=sin(x) als Beispiel hat als höchste Y Werte +1 und das niedrigste Y Werte -1. Der Wertebereich ist also das Intervall zwischen -1 und +1.

Einschränkung dabei sind zum Beispiel Funktionen der Art f(x)=x*cos(x)


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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