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Wozu braucht man die x-Methode?

Die x-Methode des Differenzenquotienten ist eine Weg zur Bestimmung der Ableitungsfunktion, wenn keine konkrete Stelle, (also ein X0 Wert) gegeben ist. Wenn dieser Wert in der Aufgabenstellung gegeben ist, dann rechnet man mit der X-Methode die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt des Grafen aus.

Die Formel der x-Methode

um die Formel zu verstehen, lohnt es sich, sich auch die Videos zur Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion anzuschauen. Der Differenzialquotient, ob mit x-Methode oder mit h-Methode berechnet den Grenzwert (Limes) des Quotienten aus zwei Differenzen. Im Zähler steht dabei die Differenz von zwei y-Werten und im Nenner die Differenz von zwei x-Werten.

Geometrisch lassen wir dabei einen Punkt auf dem Graphen einer Funktion zu einem anderen festgelegten Punkt streben.

In der Formel steht im Nenner der Term x- x0. Da x gegen x0 strebt, würde der Nenner gleich null werden.

Das bedeutet, dass wir die Steigung der Funktion mit dieser Methode in einem unendlich kleinen Intervall bestimmen.

Das Schema der x-Methode

Gegeben ist eine Funktion, beispielsweise f(x)=x²+4.

Als erstes schreibt man sich die Formel auf.

An der Stelle, in der in der Formel f(x) steht, schreibst du als nächstes die Funktionsgleichung hin. Genauso mach so dass auch bei f(x0), mit dem kleinen Unterschied, dass du hier an jeder Stelle, wo du vorher x geschrieben hast jetzt x0 in schreibst.

Das Ziel, dass jetzt verfolgt wird heißt: forme den Term, der jetzt entstanden ist, so um, dass du statt x auch x0 einsetzen darfst. Je nach gegebener Funktionsgleichung kann das schwieriger oder einfacher sein. Oftmals braucht man einen kleinen Trick oder die binomischen Formeln.

Am Beispiel der Funktion ergibt sich nach der Einsetzung im Zähler folgender Term:

x²+4-(x0²+4)

löst man jetzt die Klammern auf, sieht man, dass die Vieren wegfallen. Jetzt steht im Zähler nur noch:

x²-x0²

jetzt ist die Frage: wie wandele ich diesen Term so um, dass der Nenner wegfällt? In diesem Fall ist die Antwort, dass der Term im Zähler mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisiert werden muss. Dann kann man nämlich den Nenner einfach kürzen.

In dem einen Video kannst du auch sehen, dass du auch manchmal die quadratische Ergänzung brauchen kannst.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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