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Radioaktives Jod zerfällt im Körper nach medizinischer Anwendung. Daraus läßt sich eine Einführungsaufgabe zum Thema Exponentialfunktionen stricken:

    Ein weiterer Zerfallsprozess mit Halbwertszeit

Aus dem Video Zerfallsprozess Jod

Wir wollen den Zerfall von radioaktivem Jod betrachten, welcher relativ schnell verläuft.

Betrachtet man zum Beispiel 1 mg Jod, so kann man durch Messwerte nachweisen, dass nach 1 Stunde nur noch 0,75 mg Jod vorhanden sind, es sind also bereits 0,25 mg zerfallen.

Den Zerfallsprozess kann man darstellen anhand einer Exponentialfunktion

f(x) = c•a?,

wobei c der Anfangsbestand ist und a ist der Wachstums- oder Zerfallfaktor.

Die für unsere Betrachtung angepasste Formel erhält man durch das Einsetzen der bekannten Messwerte.

Der Anfangsbestand ist bei unserer Betrachtung gegeben mit 1 mg, der Koeffizient ermittelt sich, indem man die Funktionswerte (in dem Fall die Menge an Jod) zu den aufeinanderfolgenden Zeitpunkten mit Abstand 1 Stunde betrachtet, also

a = Menge nach 1 h / Menge zum Startzeitpunkt

= 0,75mg / 1mg = 0,75. Somit erhält man die Formel für den Zerfall von radioaktivem Jod:

f(x) = 1•0,75?.

Nach Bestimmung der Funktionsgleichung kann man sich nun verschiedenen Aufgabenstellungen zuwenden.

Aufgabe 1: Hat man 1 mg Jod zu sich genommen, wann ist zum ersten Mal weniger als 0,5 mg im Körper, d.h. nach welchem Zeitraum ist mehr als die Hälfte des Jods zerfallen?

Zunächst setzen wir die bekannten Werte in die Funktionsgleichung ein und folgen dem aufgezeigten Rechenweg, dabei suchen wir den Zeitpunkt x:

f(x)=0,75? | f(x) = 0,5mg

0,5=0,75? | lg, wobei lg den Zehnerlogarithmus darstellt

lg(0,5)=log(0,75)•x | :lg(0,75)

x˜2,4

Nach mehr als 2,4 Stunden oder umgerechnet nach 2 Stunden und 24 Minuten ist somit weniger als 0,5 mg Jod im Körper.

Aufgabe 2: Wie groß ist der Zerfallsfaktor zur Zeitspanne 1, 3 oder 5 Stunden?

Der Zerfallsfaktor ändert sich nicht, er ist eine Konstante. Jedoch kann man durch Einsetzen des entsprechenden Zeitpunktes in die Zerfallsfunktion berechnen, wie groß die Menge an radioaktivem Jod nach einem bestimmten Zeitintervall noch im Körper vorhanden ist.

So wäre nach 3 Stunden die Menge an zerfallenem Jod berechenbar durch die Formel:

f(x) = 1mg • 0,753˜0,42mg.

Nach 3 Stunden sind also noch ungefähr 0,58mg Jod im Körper. 


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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